Betrachte die kurze exakte Folge von \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\)-Moduln:
$$ 0 \to \mathbb{Z} \times 0 \stackrel{\iota}{\hookrightarrow} \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \stackrel{p}{\twoheadrightarrow} 0 \times \mathbb{Z} \to 0 $$
Mit Inklusion \(\iota\) und Projektion \(p\). Diese spaltet und daraus folgt
$$ (0\times \mathbb{Z}) \oplus (\mathbb{Z}\times 0) \cong (\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})$$
Beachte \( \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) ist frei als \( \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\)-Modul und deshalb ist \(0\times \mathbb{Z}\) projektiv, aber nicht frei, denn sind \( ((0,x_i))_{i\in I} \) Elemente in \(0\times \mathbb{Z}\) dann ist
$$\sum_{i\in I} (1,0)(0,x_i)=(0,0) $$
=> Linear abhängig.
