Gegeben Polynom 3. Grades. Wie ist c zu wählen, damit die Funktion nur eine Nullstelle hat?

Question

f(x)= 1/3x^3 - 1/2x^2 - 2x +c
Wie ist c zu wählen, damit f(x) nur eine Nullstelle hat.

Normalerweise kann eine Polynomfunktion 3. Grades ja max. 3 Nullstellen haben. Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

Die Extermalstellen kannst du berechnen, indem du eine quadratische Gleichung löst.

Dann daraus die y-Werte berechnen (sie enthalten dann halt ein c)

f(x)= 1/3x³ - 1/2x² - 2x +c

f ' (x) = x^2 - x - 2 = 0

(x-2)(x+1) =0

x1 = 2,         lokales Min.

x2 = -1        lokales Max.

 

x1 = 2,       y1=  1/3 *8 - 2 - 4 + c = -3.333333+c

x2 = -1       y2 = -1/3 - 1/2 + 2 + c = 1.16666 + c

Wenn c grösser als 3.3333333 oder kleiner als -1.16666 ist, liegen beide Extremalstellen auf der gleichen Seite der x-Achse. Daher hat nur eine Nullstelle.

Rechne das noch genau nach und melde bitte allfällige Rechenfehler.

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Vielen Dank Lu!


Für y2 kriege ich 1.166, aber das Prinzip habe ich verstanden :)

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Bitte. Und danke für die Korrektur. Sollte jetzt ok sein.

Answer 2

Hi,

Du kennst den allgemeinen Verlauf einer Funktion dritten Grades.

Du musst Dein c nun nur so groß (oder klein) wählen, dass das Hoch- und Tiefpunkt auf der selben Seite der x-Achse liegen.

 

Ich glaube das geht schneller über probieren. Mit bspw. c=6 ist die Bedingung erfüllt.

 

Grüße

Comments

Hi


Danke erstmal.

Ich verstehe es allerdings nicht ganz. Also Hoch und Tiefpunkt kann ich doch auch erst berechnen wenn ich c weiss, oder?

Also meinst du, ich soll für c einfach mal irgendwas einsetzen, dann durch Polynomdivision die Nullstellen berechnen und mal schauen? :)
Beste Grüsse

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Jein. Der Hoch und Tiefpunkt ist nur indirekt abhängig von c. Das c dient ja nur der Verschiebung entlang der y-Achse. Du kannst also ganz "normal" den Tiefpunkt bestimmen und dessen y-Wert so wählen, dass dieser >0 ist. Offensichtlich ist dann auch der Hochpunkt >0 und wir haben nur eine Nullstelle ;).


P.S.: Habe Lu's Antwort erst jetzt gesehen, aber sie tut das was ich gerade formuliert hatte ;).