a,b,c ∈ ℝ in Polynomfunktion so wählen, dass folgende Nullstellen rauskommen

Question

Aufgabe:

Zu reellen Zahlen \( a, b, c \in \mathbb{R} \) definieren wir die Polynomfunktion \( q_{a, b, c}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) durch

\(q_{a, b, c}(x)=-3 x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x-144,\)

und ihre Nullstellenmenge \( \mathcal{N}_{a, b, c}:=\left\{x \in \mathbb{C} \mid q_{a, b, c}(x)=0\right\} \).

Entscheiden Sie, ob \( a, b \) und \( c \) so gewählt werden können, dass

(i) \( \mathcal{N}_{a, b, c}=\{1,2,3,4\} \)

(ii) \( \mathcal{N}_{a, b, c}=\{2,3,4\} \)

gilt, und geben Sie \( a, b, c \) ggf. explizit an.

Problem:

Ich weiß nicht recht was ich eigentlich machen soll?

soweit:

x=1

-->a+b+c-147=0

x=2

-->8a+4b+2c-192=0

x=3

-->27a+9b+3c-387=0

x=4

-->64a+16b+4c-912=0

Soll wohl was mit quadratischer Ergänzung zu tun haben.....

Ich seh nicht recht wie ich das hier anwenden muss?

recht auffällig sind natürlich die Vorfaktoren, aber anfangen kann ich damit noch nichts.

--> 1,1,1

-->8,4,4

-->27,9,3

-->64,16,4

Comments

Nach Vieta müsste das Produkt der Nullstellen 48 sein. Demnach wäre (i) nicht möglich.
(ii) ist möglich, wenn 2 eine doppelte Nullstelle ist, also q_a,b,c(x) = (-3)·(x - 2)²·(x - 3)·(x - 4).
Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich.

Answer 1

Hallo eine Polynomfunktion mit bekannten Nullstellen x1 bis x4

kann man darstellen mit p(x)=A*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)

multiplizier das aus mit dem 2. Satz Nullstellen und dann sieh nach ob man die Gleichung mit x4=1 lösen kann oder mit einem anderen x4

der Weg, den du eingeschlagen hast ist  nicht falsch aber zu aufwendig . Du müsst's das System der 4 Gleichungen nach a,b,c,d auflösen

die 144/3 muss das Produkt aus allen Nullstellen sein , damit kann i) schon nicht mehr möglich sein , für ii) kannst di die vierte Nst oder  eine doppelte damit rausfinden. ob die anderen dann stimmen mit A=-3 musst di durch Ausmultiplizieren feststellen.

Gruß lul

Comments

Ich hab versucht mit der Anweisung selber drauf zu kommen, aber bei mir stimmts nicht. Ich habs wahrscheinlich falsch verstanden.

Die Erklärung mit der Summe und doppelten Nullstelle hab ich verstanden, nur will ich sicherheitshalber noch einen Rechenweg hinschreiben.

p(x)=A*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)

Ausmultiplizieren mit zweitem Satz Nullstellen

P(x)= A (x-2)(x-3)(x-4)(x-X₄)

=A(x^2-5x+6)(x-X₄)

=A(X^3-5x^2+6x-x^2X₄+5xX₄-6X₄)

X₄=1

A(X^3-5x^2+6x-x^2+5x-6)

=A(x^3-6x^2+11x-6)

A=-3

-->-3x^3+18x^2-33x+18

??? Und jetzt

Wann komm der Koeffizientenvergleich ins Spiel?

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Hallo

1, siehst du ohne Rechnen dass das Absolutglied wenn der Koeffizient von x^4 1 ist  das Produkt der Nullstellen sein muss? dass deshalb der Satz mit Nullstelle 1 nicht in Frage kommt?

2. A (x-2)(x-3)(x-4)=A(x^ i2-5x+6) ist falsch du hast die dritte Klammer vergessen, eigentlich klar dass ein Polynom 4 ten Grades rauskommen muss? oder als Zwischenergebnis eines 3. ten Grades?

dadurch kannst du nun nicht mit dem gegebenen p vergleichen und feststellen dass das nicht diese Nullstellen haben kann. aber das ist überflüssig, Wegen Absolutglied 144/3 ist der einzig mögliche Kandidat eine weitere Nullstelle 2, Nur die musst du einsetzen und damit bestätigen, dass auch die anderen Koeffizeinten richtig sind, oder mit allgemeinem x4 rechnen und dann x4 so wählen dass alles stimmt, auch hier sollte x4=2 rauskommen.

lul