Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
Beispiel. In der Gleichung
(1) \((x-3)\cdot (x+5) = 0\)
ist das Produkt \((x-3)\cdot (x+5)\) Null, weil das ist ja, was "\(=0\)" bedeutet.
Also muss der Faktor \(x-3\) Null sein oder der Faktor x+5 muss Null sein. Das kann man formulieren mittels
(2) \(x-3 = 0\)
(3) \(x+5 = 0\)
Die Lösungen von (1) bekommst du wegen des Satzes vom Nullprodukt also indem du die Gleichungen (2) und (3) löst.
Verifizieren Sie, dass eine Nullstelle \( x_{1}=-2 \) lautet.
Berechne \(P(-2)\).
Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Polynomfunktion \( P(x)=6 x^{3}+13 x^{2}+x-2 \)
Führe die Polynomdivision \(P(x) : (x - (-2))\) durch. Ergebnis ist ein Polynom \(S(x)\).
Löse die Gleichung
\(S(x)\cdot (x - (-2)) = 0\)
mittels Satz vom Nullprodukt.
(ii) Sei nun \( Q: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die Polynomfunktion\( Q(x):=\left(x^{2}+1\right)(x+1)\left(x^{2}-1\right)(x-2) \)
Satz vom Nullprodukt
(iii) Wir betrachten die Polynomfunktion \( R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit\( R(x):=x^{10}-15 x^{8}+85 x^{6}-225 x^{4}+274 x^{2}-120 \)Nullstellen von \( R \) sind \( x_{1}=1, x_{2}=\sqrt{2}, x_{3}=-\sqrt{3}, x_{4}=-2, x_{5}=\sqrt{5} \)
Satz vom Nullprodukt nach geeigneten Polynomdivisionen.
