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Aufgabe:

Eine Polynomfunktion f vom Grad 3 ist nebenstehend.

Die Polynomfunktionen f1, f2, f3, f4 sind definiert durch:

f1(x)= f(x)-1

f2(x)= f(x)-2

f3(x)=f(x)-3

f4(x)=-f(x)

gib an, wie viele Nullstellen diese Funktion haben


Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ahnung wie das geht. Bitte Hilfe1.31.png

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Wie gesagt, sollte das noch geändert werden.

Eine kleine Animation:


2 Antworten

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Der gezeigte Graph von \(f(x)\) hat eine einfache Nullstelle bei\(N_1(-1,5|0)\) und ein doppelte Nullstelle (Minimum) bei \(N_2(3|0)\). Weiterhin existiert ein Punkt \(P(0|2)\)

\(f(x)=a*(x+1,5)*(x-3)^2\)

\(f(0)=a*(0+1,5)*(0-3)^2=13,5a=2\)  → \(a≈0,15\)

\(f(x)=0,15*(x+1,5)*(x-3)^2\)

\(f_1(x)= f(x)-1=0,15*(x+1,5)*(x-3)^2-1\) hat 3 Nullstellen in ℝ

\(f_2(x)= f(x)-2=0,15*(x+1,5)*(x-3)^2-2\) hat 3 Nullstellen in ℝ

\(f_3(x)= f(x)-3=0,15*(x+1,5)*(x-3)^2-3\) hat 1 Nullstelle in ℝ und 2 Nullstellen in ℂ

\(f_4(x)= -f(x)=-0,15*(x+1,5)*(x-3)^2\) ist eine an der x_Achse gespiegelte Funktion von f(x) und hat somit auch 3 Nullstellen in ℝ.

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Vielen Dank!

eine Frage noch: warum doppelte Nullstelle (3/0)?

Da ist eine doppelte Nullstelle , weil der Graph dort die x-Achse berührt (Minimum).

Vielen Dank!

a ist vermutlich nur Näherungsweise 0.15 sondern eher 4/27, wie du eigentlich auch berechnen wolltest.

Und dann hätten f2(x) und -f(x) jeweils 2 Nullstellen.

-f(x) hat übrigens auch bei a = 0.15 zwei Nullstellen, genau wie f(x).

Da ist eine doppelte Nullstelle , weil der Graph dort die x-Achse berührt (Minimum).

Diese Begründung ist schwammig.

Auch bei einer vierfachen, sechsfachen ... Nulsttelle könnte man die gleiche "Begründung" abliefern.

Diese Begründung ist schwammig.

Dir steht es frei, eine nicht schwammige Begründung zu liefern.

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Eine Polynomfunktion f vom Grad 3 ist nebenstehend.

Wie viele Nullstellen haben folgende Polynomfunktionen f1, f2, f3, f4?

f1(x) = f(x) - 1 → drei Nullstellen

f2(x) = f(x) - 2 → zwei Nullstellen

f3(x) = f(x) - 3 → eine Nullstelle

f4(x) = -f(x) → zwei Nullstellen

Skizze

~plot~ 4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5);4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5) - 1;4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5) - 2;4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5) - 3;-(4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5)) ~plot~

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