Nullstellen gesucht Polynomfunktion

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion f vom Grad 3 ist nebenstehend.

Die Polynomfunktionen f1, f2, f3, f4 sind definiert durch:

f1(x)= f(x)-1

f2(x)= f(x)-2

f3(x)=f(x)-3

f4(x)=-f(x)

gib an, wie viele Nullstellen diese Funktion haben

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ahnung wie das geht. Bitte Hilfe

Comments

Wie gesagt, sollte das noch geändert werden.

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Eine kleine Animation:

https://www.desmos.com/calculator/qo7i5xwhow

https://www.desmos.com/calculator/on5ytvknvk

Answer 1

Der gezeigte Graph von \(f(x)\) hat eine einfache Nullstelle bei\(N_1(-1,5|0)\) und ein doppelte Nullstelle (Minimum) bei \(N_2(3|0)\). Weiterhin existiert ein Punkt \(P(0|2)\)

\(f(x)=a*(x+1,5)*(x-3)^2\)

\(f(0)=a*(0+1,5)*(0-3)^2=13,5a=2\)  → \(a≈0,15\)

\(f(x)=0,15*(x+1,5)*(x-3)^2\)

\(f_1(x)= f(x)-1=0,15*(x+1,5)*(x-3)^2-1\) hat 3 Nullstellen in ℝ

\(f_2(x)= f(x)-2=0,15*(x+1,5)*(x-3)^2-2\) hat 3 Nullstellen in ℝ

\(f_3(x)= f(x)-3=0,15*(x+1,5)*(x-3)^2-3\) hat 1 Nullstelle in ℝ und 2 Nullstellen in ℂ

\(f_4(x)= -f(x)=-0,15*(x+1,5)*(x-3)^2\) ist eine an der x_Achse gespiegelte Funktion von f(x) und hat somit auch 3 Nullstellen in ℝ.

Comments

Vielen Dank!

eine Frage noch: warum doppelte Nullstelle (3/0)?

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Da ist eine doppelte Nullstelle , weil der Graph dort die x-Achse berührt (Minimum).

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Vielen Dank!

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a ist vermutlich nur Näherungsweise 0.15 sondern eher 4/27, wie du eigentlich auch berechnen wolltest.

Und dann hätten f2(x) und -f(x) jeweils 2 Nullstellen.

-f(x) hat übrigens auch bei a = 0.15 zwei Nullstellen, genau wie f(x).

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Da ist eine doppelte Nullstelle , weil der Graph dort die x-Achse berührt (Minimum).

Diese Begründung ist schwammig.

Auch bei einer vierfachen, sechsfachen ... Nulsttelle könnte man die gleiche "Begründung" abliefern.

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Diese Begründung ist schwammig.

Dir steht es frei, eine nicht schwammige Begründung zu liefern.

Answer 2

Eine Polynomfunktion f vom Grad 3 ist nebenstehend.

Wie viele Nullstellen haben folgende Polynomfunktionen f1, f2, f3, f4?

f1(x) = f(x) - 1 → drei Nullstellen

f2(x) = f(x) - 2 → zwei Nullstellen

f3(x) = f(x) - 3 → eine Nullstelle

f4(x) = -f(x) → zwei Nullstellen

Skizze

~plot~ 4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5);4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5) - 1;4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5) - 2;4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5) - 3;-(4/27·(x - 3)^2·(x + 1.5)) ~plot~