Stückweise definierte Funktion zum betrachten: f(x)

Question

Hallo , wär wirklich super freundlich wenn ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könntet. Grüße Heinrich

Wir betrachten die Funktion f : R → R mit 

f(x):= {

-1 falls x≤-1

ax  falls -1<x<1

1 falls x≥1

wobei a eine reelle Zahl ist.
1. Bestimmen Sie jeweils den rechts- und linksseitigen Grenzwert in 1 und −1 in Abhängigkeit von a.
2. Bestimmen Sie a, so dass f stetig ist

Answer 1

f(x):= {

-1 falls x≤-1

ax  falls -1<x<1

1 falls x≥1

wobei a eine reelle Zahl ist.
1. Bestimmen Sie jeweils den rechts- und linksseitigen Grenzwert in 1 und −1 in Abhängigkeit von a.

von links:

lim_(x->-1 -)f(x) = -1

von rechts

 lim_(x->-1 +)f(x) = a(-1) = -a

von links:

lim_(x-> 1 -)f(x) = 1*a = a

von rechts
lim_(x-> 1 +)f(x)  = 1

2. Bestimmen Sie a, so dass f stetig ist

von links:
lim_(x-> 1 -)f(x) = 1*a = a
von rechts
lim_(x-> 1 +)f(x)  = 1

Beide sind an der Stelle x=1 gleich, wenn a = 1.

Das a=1 passt zufällig auch an der Stelle x=-1.

Somit: a = 1.

Answer 2

1) Mache mit a eine Fallunterscheidung:

a=0, a<0, a>0

und setze es dann zu jedem Fall in den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwertdefinition ein.

$$ \lim_{x \nearrow 0} f(x) \text{  und  } \lim_{x\searrow 0} f(x) $$

2.) a=1