Ermitteln Sie graphisch die optimale Lösung, wenn die folgende Zielfunktion gegeben ist: Z=4⋅x1+20⋅x2→Max.

Question

bin gerade in meinem Lernprogramm bei der Aufgabe hängen geblieben:

Gegeben sei das folgende Restriktionensystem:

\( x_2 ≤ \frac{1}{2} · x_1 + 6 \)

\( x_2 ≤ -\frac{1}{2} · x_1 + 12 \)

\( x_2 ≥ 2 · x_1 - 18 \)

\( x_2 ≥ 4 \)

\( x_2 ≥ 6 - x_1 \)

\( x_1 ≥ 2 \)

Ermitteln Sie graphisch die optimale Lösung, wenn die folgende Zielfunktion gegeben ist:

\( Z = 4·x_1 + 20·x_2 → Max. \)

Für die optimale Lösung gilt: x_1 = ___ und x_2 = ___

Könnt ihr mir da im Ansatz helfen? Ich versuche es selbstverständlich parallel weiter.

Danke

Answer 1

Hallo Maxi,

graphische Lösung:

Wenn man die Ungleichungen mit = liest, hat man Gleichungen von Geraden x₂ = m·x₁ + n, die man ins KS einzeichnen kann.

Mit den Ungleichheitszeichen wird dann folgendes "zulässige Gebiet" markiert:

z = 4x₁ + 20x₂  soll maximal werden. Dazu stellt man nach x₂ um
und  zeichnet  zu  x₂ = - 1/5 x₁ + z  (unten für z=0)
die höchste Parallele (maximaler Achsenabschnitt z!) , die das zulässige Gebiet gerade noch schneidet.

Der Schnittpunkt (x₁ | x₂ )  =  (6 | 9)  bezeichnet die optimale Lösung.

Den Schnittpunkt kannst du natürlich nicht nur ablesen, sondern mit den Geradengleichungen  x₂ = 1/2·x₁ + 6  und  x₂ = - 1/2·x₁ + 12  auch exakt berechnen.
Gruß Wolfgang