Determinate berechnen von ((1^{n} 2^{n} 3^{n} ... (n+1)^{n})...)

Question

Was ist die determinate von folgender Matrix

(1^n          2^n          3^n         ...         (n+1)^n)

(2^n          3^n          4^n         ...         (n+2)^n)

(3^n          4^n          5^n         ...         (n+3)^n)

(  ...          ...           ...        ...            ...      )

((n+1)^n (n+2)^n (n+3)^n    ...        (2n+1)^n)

Answer 1

Das ist mir im Moment zu anstrengend das zu beweisen.

Durch Ausprobieren für \(n\in\left\lbrace1, \dots, 5\right\rbrace\) bin ich jedoch darauf gekommen, dass die Determinante wohl \[\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}n\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}n\right)\right)\cdot \left(n!\right)^{n+1}\]

ist. Dabei dient der Faktor \(\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}n\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}n\right)\right)\) nur dazu das richtige Vorzeichen auszuwählen. Der Betrag der Determinante ist \(\left(n!\right)^{n+1}\).

Die Formel habe ich für \(n\in\left\lbrace1, \dots, 50\right\rbrace\) überprüft (bzw. habe ich das meinen PC rechnen lassen), so dass ich vermute, dass sie für alle natürlichen Zahlen stimmt. Ich habe jedoch gerade keine Lust das zu beweisen, sondern gehe lieber schlafen.

Hier die ersten Werte für \(n\in\left\lbrace1, \dots, 7\right\rbrace\):

 -1,

-8,

1296,

7962624,

-2985984000000,

-100306130042880000000,

416336312719673760153600000000

Comments

Wie bringst du dort sin und cos ins spiel ? wo kommen die her?

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Die habe ich nur benutzt, da \(\cos\left( \frac{\pi}{2} n\right)-\sin\left( \frac{\pi}{2} n\right)\) mir die Folge \[\left(-1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, \dots\right)\] liefert.

Denn für \(n = 1\) erhält man:

\(\cos\left( \frac{\pi}{2}\right)-\sin\left( \frac{\pi}{2}\right) = 0 - 1 = -1\)

Für \(n = 2\) erhält man:

\(\cos\left( \pi\right)-\sin\left( \pi\right) = -1 - 0 = -1\)

Für \(n = 3\) erhält man:

\(\cos\left( \frac{3\pi}{2}\right)-\sin\left( \frac{3\pi}{2}\right) = 0 - (-1) = +1\)

Für \(n = 4\) erhält man:

\(\cos\left( 2\pi\right)-\sin\left( 2\pi\right) = 1 - 0 = +1\)

Aufgrund der Periodizität von \(\cos\) bzw. \(\sin\) erhält man dann, dass sich für die weiteren natürlichen Zahlen \(n\) diese Werte \(-1, -1, +1, +1\) periodisch wiederholen.

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Das war für mich nur ein bequemer Weg, die passenden Vorzeichen zu bekommen. Man kann das natürlich auch anders machen, beispielsweise indem man schreibt:

Für alle \(n\in\mathbb{N}\), welche bei Division durch \(4\) Rest \(1\) oder Rest \(2\) haben, also für alle \(n\in\mathbb{N}\) der Form \(n = 4k + 1\) oder der Form \(n = 4k +2\) für ein \(k\in\mathbb{N}_0\), ist die Determinante \(-(n!)^{n+1}\).

Für alle \(n\in\mathbb{N}\), welche bei Division durch \(4\) Rest \(3\) oder Rest \(0\) haben, also für alle \(n\in\mathbb{N}\) der Form \(n = 4k + 3\) oder der Form \(n = 4k +4\) für ein \(k\in\mathbb{N}_0\), ist die Determinante \((n!)^{n+1}\).

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Man könnte auch \((-1)^{\frac{n\cdot (n+1)}{2}}\) statt \(\cos\left( \frac{\pi}{2} n\right)-\sin\left( \frac{\pi}{2} n\right)\) verwenden, da dies die gleiche Folge \[\left(-1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, \dots\right)\] liefert. Demnach kann man die Determinante beispielsweise auch als \[(-1)^{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}\cdot(n!)^{n+1}\] angeben.

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Man könnte auch (−1)n⋅(n+1)2 statt cos(π2n)−sin(π2n) verwenden, da dies die gleiche Folge
(−1,−1,+1,+1,−1,−1,+1,+1,−1,−1,+1,+1,…

Sicher? Teste doch mal n=100

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Ja, da bin ich mir sicher. Soll ich dir einen Beweis angeben?

Im Folgenden habe ich das übrigens einmal für \(n = 100\) überprüft, wie du es gerne haben wolltest. Man erhält jeweils 1.

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\((-1)^{\frac{100\cdot (100+1)}{2}}=(-1)^{\frac{100\cdot 101}{2}}=(-1)^{50\cdot 101}=(-1)^{2\cdot25\cdot 101}=\left((-1)^{2}\right)^{25\cdot 101}=1^{25\cdot 101}=1\)

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\(\cos\left( \frac{\pi}{2} 100\right)-\sin\left( \frac{\pi}{2} 100\right)=\cos\left( 50\pi\right)-\sin\left( 50\pi\right)=\cos\left( 25\cdot 2\pi\right)-\sin\left( 25\cdot 2\pi\right) =\cos\left(0\right)-\sin\left(0\right) = 1 - 0 = 1\)

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Und auch bei der Folge \[\left(-1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, \dots\right),\] also bei der periodischen Folge \(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) mit Periodenlänge \(4\) und mit \(a_1 = -1\) und \(a_2 = -1\) und \(a_3 = 1\) und \(a_4 = 1\) erhält man \[a_{100} = a_{25\cdot 4} = a_{4 + 24\cdot 4} = a_{4} = 1\text{.}\]

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Einen Beweis für die Determinante gibt es übrigen wohl im folgenden Buch:

J. M. Monier, Algebre & geometrie, Dunod (1996), p.216.

Zumindest wenn man

http://oeis.org/A176113

bzw.

https://math.stackexchange.com/questions/927834/can-we-determine-the-determinant

glaubt. Ich habe leider kein Exemplar in meiner Nähe, um dies selbst zu überprüfen. Und ich habe auch, wie bereits zuvor erwähnt, gerade keine Lust, mir selbst einen Beweis zu überlegen.

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Ah entschuldige, ich habe nicht gesehen, dass $$\frac{n\cdot (n+1)}{2}$$

im Exponenten steht.