Determinate von Matrix berechnen nxn

Question

Hey, also ich soll die Determinate der Matrix

(                       1)

(     0          ..      )

(       ..       0       )      enthalten in K^nxn

(1                       )

bestimmen.

Dabei hab ich schon herausgefunden, dass das Ergebnis immer entweder 1 oder -1 ist. Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das mathematisch korrekt zeigen bzw formulieren kann, da das System so ist, dass bspw 4x4 und 5x5 = 1 ergeben und 6x6 und 7x7 dann =(-1) sind. Also immer zwei Zahlenpaare abwechselnd.

Aber wie kann ich dieses Abwechseln mathematisch zeigen?

Comments

Hallo

wie soll denn die Matrix aussehen? dargestellt ist eine mit ganzen Nullzeilen?

lul

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Ja es ist ein bisschen schwierig das hier vernünftig darzustellen haha, aber gemeint ist eine Matrix, die antidiagonal überall die 1 stehen hat.

Answer 1

Ich stelle mal einen Zusammenhang dar

[ ] = ganzzahl

\(\left(\begin{array}{rrr}n&det A&[n/2] \; mod\; 2\\1&1&0\\2&-1&1\\3&-1&1\\4&1&0\\5&1&0\\6&-1&1\\7&-1&1\\8&1&0\\9&1&0\\\end{array}\right)\)

Answer 2

In den Spalten von \(A\) stehen die Standard-Einheitsvektoren in

umgekehrter Reihenfolge. Durch sukzessives Vertauschen je zweier

Spalten kann die Determinante in die Determinante der Einheitsmatrix

überführt werden. Jede solche Vertauschung ändert das Vorzeichen,

so dass bei diesem Prozess

\((e_{\sigma(1)},\cdots,e_{\sigma(n)})\rightarrow (e_1,\cdots,e_n)\)

\(sgn(\sigma)\) Vorzeichenwechsel stattfinden. Mit \(sgn\) ist

hier das Signum der Permutation gemeint.

1. Fall: \(n\) gerade.

Dann überführen folgende Transpositionen die Matrix

in die Einheitsmatrix: \((1,n)\cdots(\frac{n}{2},\frac{n}{2}+1)\).

Somit erhält man \(\det(A)=(-1)^{n/2}\).

2. Fall: \(n\) ungerade.

Hier gehe analog vor ...

Answer 3

Behauptung: Für alle \(n\ge1\) gilt \(\displaystyle\det(A_n)=(-1)^{\frac12n(n-1)}\).
Beweis per Induktion über \(n\).
Die Aussage gilt offenbar für \(n=1\).
Die Aussage gelte nun für ein beliebiges \(n\ge 1\). Entwicklung nach der ersten Spalte liefert$$\large\begin{aligned}\det(A_{n+1})&=(-1)^{n+1+1}\cdot1\cdot\det(A_n)\\&=(-1)^n\cdot(-1)^{\frac12n(n-1)}\\&=(-1)^{n+\frac12n(n-1)}\\&=(-1)^{\frac12n(n+1)}\ \color{green}✔\end{aligned}$$Damit gilt die Aussage auch für \(n+1\).