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Aufgabe: Zeppelin

Ein Zeppelin steigt 0,5 km und startet dann seinen Flug vom Punkt \( A(1 / 2 / 0,5) \) aus. Er fliegt dann geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit und ist nach einer Stunde \( (t=1) \) im Punkt \( B(31 / 42 / 0,5) \)

Ein Flugzeug befindet sich beim Start des Zeppelins im Punkt \( \mathrm{C}(12 | 25| 0,3)\). Die Flugbahn des Flugzeugs kann durch die Gleichung \( f: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{12} \\ {25} \\ {0,3}\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}{80} \\ {-60} \\ {4}\end{array}\right) \) beschrieben werden.

Dabei werden die Flugzeit t und s in Stunden gemessen. Alle Koordinaten werden in Kilometern angegeben.

a) Geben Sie eine Geradengleichung z für die Flugbahn des Zeppelins in Abhängigkeit von t an.

b) Die beiden Flugbahnen kreuzen sich im Punkt \( S(16| 22| 0,5) \). Nach wie vielen Stunden erreichen der Zeppelin bzw. das Flugzeug diesen Punkt? Kommt es zu einer Kollision?

c) Berechnen Sie, in welchem Punkt sich das Flugzeug nach einer Stunde befindet.

d) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeuges in km/h.

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Zu a) muss man das nur in die Geradengleichung einsetzen:

$$ z:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0,5 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}30\\40\\0 \end{pmatrix} $$

b) Beide Flugbahnen mit dem Punkt S gleichsetzen. Dann nach den Streckungsfaktor des Richtungsvektors umstellen. Diese Zahl gibt dann an wie viele Stunden Zeit zu diesem Punkt hin benötigt werden.

Zeppelin

$$ \begin{pmatrix}1\\2\\0,5 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}30\\40\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\22\\0,5 \end{pmatrix} \Leftrightarrow t\cdot \begin{pmatrix}30\\40\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\20\\0 \end{pmatrix} \rightarrow t=0,5 \quad 30 min $$

Flugzeug

$$ \begin{pmatrix}12\\25\\0,3 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}80\\-60\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\22\\0,5 \end{pmatrix} \Leftrightarrow s\cdot \begin{pmatrix}80\\-60\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-3\\0,2 \end{pmatrix} \rightarrow s=0,05 \quad 3 min $$

Da beide Luftfahrzeuge unterschiedlich viel Zeit brauchen, den Punkt S zu erreichen, besteht keine Kollisionsgefahr.

c) Nur s=1 einsetzen.

$$ \begin{pmatrix}12\\25\\0,3 \end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}80\\-60\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}92\\-35\\4,3 \end{pmatrix}\quad H(92/-35/4,3) $$

d) Betrag des Richtungsvektors durch 3600 Sekunden ergibt:

$$ v=\frac{s}{t}=\frac{\sqrt{(80\cdot1000)^2+(-60\cdot 1000)^2+(4\cdot 1000)^2}m}{3600s}\approx27,8\frac{m}{s} $$

Avatar von 15 k

ich habe genau das Gleiche raus für die beiden Gleichungen bei a, jedoch stellt sich mir eine Frage: Wenn ich die Zeppelin-Gleichung mit linSolve versuche zu lösen bekomme ich einen Argumentfehler, aber bei der des Flugzeuges nicht. Weiß hier einer woran das liegen kann? :)

MfG

Dominik

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