Binomische Formel anwenden-Beweis

Question

also folgendes Beispiel:

ich soll (1+x)ⁿ=1+ (n-1)²x²/2 für x>=0 und n>=0 mithilfe der binomischen Lehrsätze beweisen...

Ich hab wirklich schon alle Umformungen versucht, die mir in den Sinn kamen, aber bis jetzt hat sich nichts Ordentliches ergeben....

Könnt ihr mir weiterhelfen??

 

lG

Comments

Das stimmt so sicher nicht.

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Ist die Aufgabenstellung so wirklich korrekt wiedergegeben?

Wenn ich z.B. x = n = 1 setze, ergibt sich

(1 + 1)¹ ≠ 1 + (1 - 1)² * 1² / 2 = 1 + 0 * 1 / 2 = 1

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Das ist das originale Beispiel

achsooo sorry, da ist ein größer gleich:)

 

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Da haben wir ja schon den Unterschied: 

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + ...

statt

(1 + x)ⁿ = 1 + ...

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Das stimmt auch nicht.

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Wir haben zwei Personen, die die Aufgabe jeweils vermutlich falsch abgetippt haben:

https://www.mathelounge.de/55002/beweis-einer-gleichung-mit-hilfe-von-binomischem-lehrsatz?show=55002#q55002 .

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haha stimmt :) aber habs schon ausgebessert :D

Answer 1

Der allgemeine binomische Lehrsatz lautet $$ \left(1+x\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot x^k $$ Für  n > 0  und  x ≥ 0  gilt daher
(1 + x)ⁿ ≥ 1 + n·x + 1/2·n·(n - 1)·x² ≥ 1 + 1/2·(n - 1)²·x².

Comments

Ich versteh deinen Lösungsweg nicht ganz. Kannst du ihn kurz erläutern?

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Alle Summanden in der Summenformel sind nichtnegativ. Man lässt außer dem ersten und dem dritten Summanden alle weiteren unberücksichtigt. Beim dritten erstze  n  durch  n - 1:
(n über 2)·x² = 1/2·n·(n - 1)·x² ≥ 1/2·(n - 1)·(n - 1)·x² =1/2·(n - 1)²·x².
Für  n = 0  gilt das allerdings nicht.

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Ich wiederum verstehe jetzt nicht ganz wieso du "(n über 2)*x²" einsetzt ? 

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Das hängt mit dem oben bereits erwähnten binomischen Lehrsatz für allgemeine  n  zusammen:$$\left(1+x\right)^n=\binom n0\cdot x^0+\binom n1\cdot x^1+\binom n2\cdot x^2+\dots+\binom nn\cdot x^n$$