Matrix mit Hilfe von Householder Transformation auf Trigonalgestalt bringen

Question

$$ A = \begin{bmatrix}     2 & 1 & 2 & 2 \\     1 & -7 & 6 & 5 \\     2 & 6 & 2 & -5 \\     2 & 5 & -5 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

Die Frage wäre, wie man die Matrix mit Hilfe von Householder Transformationen auf Tridiagonalgestalt bringen kann.

Leider habe ich aktuell keine Idee wie das funktionieren soll. Ich wüsste, wie man eine Matrix auf trigonalisierbarkeit prüfen kann und falls sie es ist, sie dann auch Trigonalisieren, aber wie das mit Householder Transformationen funktionieren soll ist mir aktuell ein Rätsel.

Ich bin dankbar für jede Antwort /jeden Tipp :)

Answer 1

$$\small 1. Spalte \left(a_{ij}\right),\; Spiegelachse\; v1 \\\to v1:= O\left( a_{i1}\right) = a_{i1}+\operatorname{sign}\left( a_{11}\right)\left\|a_{i1}\right\| e_{1} \\\to H1:=MHouseHolder\left(v1\right) = id - 2\frac{v_{1} v_{1}^{T}}{v_{1}^{T} v_{1} } \\\to A1:=H1\cdot A $$

$$\small 2. Spalte (a1_{i2...n})_{dim\; n-1}\to (a1^{sub}_{ij}) \\\textcolor{darkgreen}{A1^{sub}}=\left(\begin{array}{c|ccc} a1_{11} & a1_{1i} & \cdots & a1_{1n}\\\hline 0  &  & & \\\vdots & & \textcolor{darkgreen}{{a1_{i\,j}}}&\\ 0 & & \end{array}\right) \\\to v2:=O(a1^{sub}_{i1}) \\\to H2:=MHouseHolder(v2) \\\to A2:=H2\cdot A1sub$$

analog 3./4. Spalte

A= Q R

$$\scriptsize{{\left(\begin{array}{rrrr}2&1&2&2 \\ 1&-7&6&5 \\ 2&6&2&5 \\ 2&5&-5&1 \\ \end{array}\right)}={\left(\begin{array}{rrrr}-0.555&-0.171&-0.06&0.812 \\ -0.277&-0.882&-0.045&-0.379 \\ -0.555&0.359&-0.663&-0.352 \\ -0.555&0.253&0.745&-0.271 \\ \end{array}\right)}\cdot{\left(\begin{array}{rrrr}-3.606&-4.715&-1.109&-5.824 \\ 0&9.422&-6.18&-2.702 \\ 0&0&-5.438&-2.912 \\ 0&0&0&-2.301 \\ \end{array}\right)}}$$

Comments

Wo ist denn da jetzt eine Tridiagonalmatrix?

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>Tridiagonalmatrix<

Das ist Interpretation, um nicht Leseschwäche zu sagen.

Aufgabe: "Matrix mit Hilfe von Householder Transformation auf Trigonalgestalt bringen"

Wikipedia:

Ein Endomorphismus f\colon V\to V über einen endlichdimensionalen Vektorraum V heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt, sodass die Darstellungsmatrix {\displaystyle M_{B}(f)} eine obere Dreiecksmatrix ist.

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Das ist Thema verfehlt. Nichts weiter.

Wobei... Die Frage ist da sehr unverständlich gestellt, da beide Begriffe auftauchen. Ich denke aber es ist die Tridiagonalgestalt gemeint.