2x2 Matrix mittels orthogonaler Transformation auf Diagonalfrom bringen

Question

Bringen Sie die symmetrische 2x2 Matrix A mittels orthogonaler Transformation D=Q^TAQ auf Diagonalfrom und bestimmen Sie den Winkel φ, der zur Diagonalisierung von A führt.

      a₁₁   a₁₂                                     cosφ      -sinφ

A= (a₂₁   a₂₂)                             Q= (sinφ     cosφ)

       

Answer 1

Sei \(A=\begin{pmatrix}x&y\\y&z\end{pmatrix},Q=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix},D=\begin{pmatrix}p&0\\0&q\end{pmatrix}\).
Es soll \(Q^\mathsf TAQ=D\) gelten, also insbesondere$$-(x\cos\varphi+y\sin\varphi)\sin\varphi+(y\cos\varphi+z\sin\varphi)\cos\varphi=0.$$Ausmultiplizieren liefert unter Berücksichtigung der Additionstheoreme$$\tfrac12(z-x)\sin2\varphi+y\cos2\varphi=0.$$Für \(x\ne z\) ist also \(\tan2\varphi=\dfrac{2y}{x-z}\) und sonst \(y\cos2\varphi=0\).
Daraus lässt sich \(\varphi\) berechnen.