spezielles Integral mittels Transformation lösen

Question

Hallo Leute!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe:

p) Bestimme das Integral $\int \limits_{\mathbb{R}^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+x^{2}}{2}} \mathrm{~d}(x, y)$. Verwenden Sie dazu die Transformation auf Polarkoordinaten. Dabei gilt
$\mathbb{R}^{2}=\{(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) \mid r \in[0, \infty), \varphi \in[0,2 \pi)\}$

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier genau vorgehen? Das ist ein spezielles Integral. Wie kann ich es lösen? Gibt’s hier einen Trick? Und kann es sein, dass dem Aufgabensteller zufällig ein Fehler unterlaufen ist, da im Exponent zwei mal x² vorkommt?

Comments

Ich bin ziemlich sicher, dass eines der x ein y sein soll.

Im übrigen kannst Du die Transformationsregel genau wie bei Deinem anderen Post anwenden

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Also so?

$\begin{array}{l}\text { P) } Integral_{R^{2}} e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} d(x, y) \\ \psi=\left(\begin{array}{l}r \cos (\varphi) \\ r \sin (\varphi)\end{array}\right)= \\ J \psi=\left(\begin{array}{lr}\cos (\varphi) & -r \sin (\varphi) \\ \sin (\varphi) & r \cos (\varphi)\end{array}\right)=r \\ |\operatorname{det}| \psi|=| r \cos ^{2}(\varphi)+r \sin ^{2}(\varphi) \mid=r \\ \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^{2}}{2}} \cdot r \cdot d r \cdot dφ= \\ \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-u} \cdot r \cdot \frac{1}{r} d u \cdot d φ=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-\mu} d u d φ = \\ \int \limits_{0}^{2 \pi}\left[-e^{-\mu}\right]_{0}^{\infty} d y=[\underbrace{e^{-\infty}}_{=0} \underbrace+{e^{-0}}_{1}] \cdot[y]_{0}^{2 \pi} \\ =2 \pi \\\end{array}$

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Ja, so kann man das lösen.

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Uups, ich merke gerade, dass ich die Aufgabe schon mal hier im Forum hochgeladen habe, sry. Ich habe soeben meine alten Unterlagen gefunden, wo ich die Aufgabe gerechnet habe.

Sry dafür, aber trotzdem vielen lieben Dank für deine Rückmeldung!!