Löse das Integral mittels Transformation

Question

Hallo an alle!

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, bin überfordert. Wie muss ich da vorgehen? Ich habe zwar einen Ansatz, aber der hilft mir auch nicht weiter die Aufgabe vollständig zu lösen. Könnte jemand mit mir die Aufgabe durchrechnen?

Aufgabe:

k) Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{B}}\left(\frac{x-y}{x+y-2}\right)^{2} \mathrm{~d}(x, y) \) mit \( \mathcal{B}=\{(x, y) \mid-1 \leq x+y \leq 1 \&-1 \leq \) \( x-y \leq 1\} \subset \mathbb{R}^{2} \). Verwendet man die Transformation
\( \Psi(u, v)=(x(u, v), y(u, v))=\left(\frac{u+v}{2}, \frac{u-v}{2}\right) \quad \text { bzw. } \quad u(x, y)=x+y, \quad v(x, y)=x-y \)
entspricht \( \mathcal{B} \) dem Bereich \( \Psi\left(\mathcal{B}^{*}\right) \) mit \( \mathcal{B}^{*}=\{(u, v) \mid-1 \leq u \leq 1,-1 \leq v \leq 1\} \).

Mein Ansatz wäre:

\( \psi(u, v)=\left(\begin{array}{c}\frac{v+v}{2} \\ \frac{u-v}{2}\end{array}\right) \)
\( J \psi=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ +\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right) \)
\( \operatorname{det}|J \psi|=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2} \)

Comments

Wie habt Ihr denn den Transformationssatz für Integrale formuliert? Du hast doch schon alle Infos und brauchst da nur einsetzen.

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Was soll ich für x und y einsetzen? Muss ich dann in die Ausgangsfunktion (beispielsweise für x) u+v/2 einsetzen?

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Ja, das ist so.

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Okay, danke dir Mathhilf!

Answer 1

Grundsätzlich ist es beim Berechnen von Mehrfach-Integralen mittels Transformation günstig, sich eine Form der Transformationsregel zu merken, die einem am besten passt.

Mit deinen Bezeichnungen via Jacobi-Matrix könnte das zum Beispiel die folgende sein:

$$\int_{\mathcal B}f(x,y)\; d(x,y) = \int_{\mathcal B^{\star}}f(x(u,v),y(u,v)) \left|\det J_{\Psi}(u,v) \right|\; d(u,v)$$

Übrigens musst du die Determinante innerhalb der Betragsstriche schreiben. Also

$$\color{red}{\text{falsch: } \det \left| J_{\Psi}\right|}  \quad \color{green}{\text{richtig: }\left|\det J_{\Psi}\right|}$$

Nun nur noch einsetzen:

$$x+y = u,\; x-y = v$$

$$\int_{\mathcal B}\left( \frac{x-y}{x+y-2} \right)^2\; d(x,y) = \int_{\mathcal B^{\star}}\left( \frac{v}{u-2} \right)^2 \cdot \left|-\frac 12 \right|\; d(u,v)$$

$$\frac 12 \int_{u=-1}^1\int_{v=-1}^1\frac{v^2}{(u-2)^2}dvdu = \frac 12 \left(\int_{u=-1}^1\frac 1{(u-2)^2}du \right) \left(\int_{v=-1}^1v^2dv \right)$$

$$= \frac 12 \cdot \frac 49 = \frac 29$$

Berechnung des Doppelintegrals ist hier.

Comments

Super, wirklich vielen vielen Dank trancelocation!! Ich war kurz verwirrt, weil in der Aufgabenstellung waren viele Infos auf einmal. Aber freut mich sehr, dass du mir die Aufgabe ausführlich erklärt hast.

Und ja, ich muss mir eine Form merken und mit der dann immer rechnen. Unser Prof. hat die Variante mit der Jacobi-Matrix immer genommen, weshalb ich oben versucht habe mit seiner Form zu rechnen. Also die Bezeichnung mit der Jacobi-Matrix ist für mich am besten, da ich so die Mitschrift meines Profs besser nachvollziehen kann.

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Ich hätte noch eine Frage: Man kann ja hier die Integrationsgrenzen vertauschen, da wir zwei Integrale haben, die konstante Grenzen haben. Wann hätten wir keine konstanten Grenzen bzw. wie müssten denn die Grenzen in diesem Fall ausschauen, wenn die nicht konstant wären? Könntest du hier vielleicht ein Beispiel, das dir spontan so einfällt, nennen? Ich würde die gleiche Aufgabe erneut rechnen, aber ohne konstante Grenzen.

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Probier mal folgendes:

Zeichne mal den u,v-Bereich in ein Koordinatensystem. Das ist ein Quadrat.

Jetzt zeichne mal eine Diagonale ein und nimm eines der beiden Dreiecke als Integrationsbereich.

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Wie soll ich das genau zeichnen? Soll ich von der Ausgansfunktion ausgehen?

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Zum Beispiel so:

Das Quadrat \(\mathcal B^{\star}\) in einem (u,v)-Koordinatensystem.

Ein halbes Quadrat im (u,v)-Koordinatensystem.

Das halbe Quadrat nach Transformation \(\Psi\) im (x,y)-Koordinatensystem.

Jetzt kannst du das Integral noch einmal zu Übungszwecken nachrechnen aber mit dem Dreieck als Integrationsbereich.

Aber Vorsicht! Das Integral ist dann etwas schwieriger:

$$\int_{u=-1}^1\int_{v=-1}^u\frac{v^2}{(u-2)^2}\,dv\,du =\frac{14}3 - 4\ln 3 \approx 0.272$$

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Erstmal danke für die Übung!

Aber ich komme da nicht ganz mit. Wie kann ich hier erkennen, ob ich die Integration vertauschen kann oder nicht? Also ich erkenne den Zusammenhang zwischen dieser Aufgabe und der ursprünglichen Aufgabe nicht.

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Lies mal deinen eigenen Kommentar oben. Du wolltest ein Beispiel ohne konstante Grenzen. Genau so ein Beispiel hab ich dir gegeben.

Vertauschen kann man die Grenzen in meinem Zusatzbeispiel trotzdem, auch wenn die Grenzen nicht konstant sind. Man muss aber genau aufpassen, wie man dann die Grenzen für u und v wählt.

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Also die Integrationsgrenzen des Dreieck sind -1<=x+y<=1, -1<=x-y<=x+y, richtig?

Und -1<=x-y<=x+y ist nicht konstant, da x+y keine konstante zahl ist, aber man kann die Integration totzdem vertauschen, richtig?

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Genau so ist es.

Es ist eine gute Aufgabe, diese Vertauschung mal durchzuführen (in u-v-Koordinaten).
Dann wirst du sehen, dass das Vertauschen der Integrationsreihenfolge die Integration in meinem Zusatzbeispiel vereinfacht. :-)

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Ja, das finde ich auch, vielen Dank für die Zusatzaufgabe!

Ich hätte noch eine Frage: Normalerweise darf man ja die Integration nicht vertauschen, wenn die Grenzen nicht konstant sind, warum dürfen wir das in deinem Zusatzbeispiel machen?

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Ganz im Gegenteil. In vielen Fällen darf man die Integrationsreihenfolge vertauschen. Man muss aber sehr genau aufpassen, wie sich dabei die Integrationsgrenzen verändern.

Im Zusatzbeispiel sieht das so aus:

$$\int_{u=-1}^1\int_{v=-1}^u\frac{v^2}{(u-2)^2}\,dv\,du = \int_{v=-1}^1\int_{u=v}^1\frac{v^2}{(u-2)^2}\,du\,dv$$

Wann das Vertauschen der Integrationsreihenfolge möglich ist, sagt der Satz von Fubini.