~draw~ polygon(0|0 2|-2 4|0 2|2);zoom(6) ~draw~
Das wäre doch das Viereck. Weil Deine Trafo nicht das Viereck triff, integrierst du über einen anderen Bereich, also ist das falsch
Ich würde R so beschreiben:
$$u:=y+x \in [0,4] \quad v:=y-x \in [-4,0]$$
Durch Umkehrung erhalten wir
$$u=y+x, \quad v=y-x \iff x=0.5(u-v), \quad y=0.5(u+v)$$
Also
$$R=\Psi(R^{\ast}) \text{ mit }\Psi(u,v):=0.5 \begin{pmatrix} u-v\\u+v \end{pmatrix}$$
Der Betrag der Funktionaldeterminante ist 0.5. Damit sagt der Transformationssatz:
$$\int_R(x-y)d(x,y)=\int_{R^{\ast}}(-v)0.5d(u,v)=-0.5\int_{-4}^0dv\int_0^4 du \; v\\\quad =-2\int_{-4}^0dv\; v=-[v^2]_{-4}^0=16$$