Householder Spiegelungenn/Matrix/Vektor

Question

Aufgabe:

Für einen bezüglich der 2-Norm normierten Vektor w ∈ R^N betrachten wir
die Matrix Q = I_N − 2ww^T. Zeigen Sie:
(a) Die Matrix Q ist symmetrisch.
(b) Die Matrix Q ist orthogonal.
(c) Es gilt Eig(Q; 1) = {x ∈ R^N : w^Tx = 0}.
(d) Es gilt Eig(Q; −1) = span{w}.
(e) Es gilt R^N = Eig(Q; 1) ⊕ Eig(Q; −1). Nutzen Sie hierzu das Orthogonalisierungsverfahren von Schmidt, um dim{x ∈ R^N : w^Tx = 0} = N − 1 zu
begrunden. ¨
(f) Skizzieren Sie in einer zweidimensionalen Ebene die Spiegelungseigenschaft von Q.

Problem/Ansatz: Tipps/Lösungen/Hinweise sind herzlich Willkommen :)

Comments

Hallo,

wenn Du Dich mit der Antwort zu Deiner anderen Frage auseinandergesetzt hast, solltest Du die beiden ersten Fragen selbst beantworten können - kannst Du das?

Gruß