Hi,
das \( v \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( -1 \) ist, ist klar?
Zu dem Unterraum der senkrecht zu \( v \) ist.
Du hast einen n-dimensionalen Raum und ich setzte mal Voraus das \( n \ge 2 \) ist. n=1 ist trivial. Dann kann man immer Vektoren \( u \) finden die senkrecht zu \( v \) stehen. Nimm so einen Vektor und rechne nach das gilt
$$ Au = u - 2 \frac{v v^T}{v^T v}u = u - 2 \frac{v v^T u}{v^T v} $$ Da \( v\) und \( u \) senkrecht zueinander sind ist das Skalarprodukt Null also \( v^T u = 0 \)
Damit gilt
$$ Au = u $$ Also ist \( u \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( 1 \). Da der Raum n-dimensional ist ist der Unterraum (n-1)-dimensional, also gibt es (n-1) unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert \( 1\) und deshalb gibt es den Eigenwert \( 1 \) (n-1) mal.