Eigenwerte und Eigenvektoren einer Householder Matrix

Question

Wie bestimmt man die Eigenwerte und eigenvektoren und die Determininante einer Householder Matrix A := I - ( 2v*v^t/v^t*v )?? Dabei ist I die Einheitsmatrix

Ich weiß zwar wie man Eigenwerte berechnet aber bei dieser Matrix kann ich mir das nicht vorstellen , kann man überhaupt mit dem charakterisitischen Polynom lösen ??

Hoffe jemand einen Lösungsansatz für mich

Answer 1

Hi,
sei
$$ A = I - 2 \frac{v v^T}{v^T v} $$ dann gilt
$$ Av = v - 2 \frac{v v^T}{v^T v} v = v - 2v = -v  $$
D.h. \( v \) ist Eigenvektor zum Eigenwert \( -1 \)
Sei \( u \) ein Vektor senkrecht zu \( v \), dann gilt
$$ Au = u - 2 \frac{v v^T}{v^T v} u = u $$
Also haben alle Vektoren senkrecht zu \( v \) einen Eigenwert \( 1 \)
D.h. zusammengefasst, es gibt einen Eigenwert mit dem Wert \( -1 \) und Eigenvektor \( v \) und einen (n-1)-fachen Eigenwert mit Wert \( 1 \) und Eigenvektoren die senkrecht zu \( v \) stehen. Der Unterraum der senkrecht zu \( v \) stehenden Vektoren hat die Dimension (n-1). Z.B. kann man als Eigenvektoren die Basisvektoren diese Unterraums nehmen.

Comments

Ich hab das jetzt nicht wirklich verstanden Was du mit senkrecht und dem n-1 fachen eigenwert meinst

Wenn du mir das etwas erklären könnten wäre das super :/

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Hi,

das \( v \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( -1 \) ist, ist klar?

Zu dem Unterraum der senkrecht zu \( v \) ist.

Du hast einen n-dimensionalen Raum und ich setzte mal Voraus das \( n \ge 2 \) ist. n=1 ist trivial. Dann kann man immer Vektoren \( u \) finden die senkrecht zu \( v \) stehen. Nimm so einen Vektor und rechne nach das gilt

$$  Au = u - 2 \frac{v v^T}{v^T v}u = u - 2 \frac{v v^T u}{v^T v} $$ Da \( v\) und \( u \) senkrecht zueinander sind ist das Skalarprodukt Null also \( v^T u = 0 \)

Damit gilt

$$ Au = u $$ Also ist \( u \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( 1 \). Da der Raum n-dimensional ist ist der Unterraum (n-1)-dimensional, also gibt es (n-1) unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert \( 1\) und deshalb gibt es den Eigenwert \( 1 \) (n-1) mal.

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Oben hast du aber geschrieben das v ein eigenwert von -1 eins ist ??

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Das war ein Tippfehler, ich korrigiere das.

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Ah ok jetzt hab ich es verstanden danke sehr :)