Dimension eines Unterraums bestimmen

Question

Aufgabe: Seien die reellen Zahlen(x1,...,xn) der Vektorraum aller Polynome mit Unbekannten x1,..,xn und k in den natürlichen Zahlen. Bestimmen sie
1.) Die Dimension des Unterraums aller homogenen Polynome vom Grad k.
2.) Die Dimension des Unterraums aller Polynome vom Grad ≤k.

Ich habe leider garkeine Idee wie dies funktionieren soll.

Answer 1

homogene Polynome von Grad k beginnen alle mit

a*x^k  (a ≠ 0)

und haben dann Summanden der Form b*x^{i} mit   i<k   außer x^0.

Und diese Summanden musst du alle mit der Basis erzeugen können

Also bilden die Potenzen    x^{k-*1} ,   …  x^1  eine Basis und damit

dim = k-1.

Entsprechend bei b)  dim = k+1 .