Eigenwerte der linearen Abbildung bestimmen

Question

ich habe zuerst die Darstellungsmatrix B^φB der Matrix bestimmt, wobei B Standardbasis des K^2x2.

Da es ja eine lin. Abbildung ist, muss es ja eine Darstellung φ(M)= A*M geben. Dann könnte ich ja für A die EW berechnen.
Jetzt steht aber in meinen Definitionen nur, dass BφB=A, wenn B∈Kⁿ ist. Geht das trotzdem, obwohl dies hier nicht der Fall ist?

Answer 1

Bestimme einfach die Bilder der Elemente der Basis

$$Φ( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}) =   \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & a \end{pmatrix}= a*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+ a*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Also ist die erste Spalte der Abbildungsmatrix

0
a
0
a

entsprechend mit den anderen gibt es dann für die Abb.matrix   A=

0   a   0   b
a   0   b   0
0   a   0   b
a   0   b   0

b) det ( A -x*E) = x^2 * (x^2 - (a+b)^2 )

Also Eigenwerte 0 und  a+b

mit (für a≠0 ) Eigenvektoren zu 0  im Span von

-b*a^{-1}     und              0
     0                             -b*a^{-1}
     1                               0
     0                                  1

und zu a+b  im Span von

1
1
1
1

.