ich habe Probleme damit, zu beweisen, dass die folgenden 4 Sätze äquivalent sind. Ich bin da gerade irgendwie planlos, also wäre ich für jegliche Tipps/Ideen bezüglich der Beweise dankbar.
Es seien V ein euklidischer Vektorraum, U ⊆ V ein endlich-dimensionaler Untervektorraum und π: V → V eine Projektion von V auf U, d.h. eine lineare Abbildung mit Bild(π) = U und π ◦ π = π. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Der Endomorphismus π ist die orthogonale Projektion auf U.
(ii) Für alle x,y∈V gilt ∥π(x)−π(y)∥ ≤ ∥x−y∥.
(iii) Für alle x ∈ V gilt ∥π(x)∥ ≤ ∥x∥.
(iv) Für alle x, y ∈ V gilt ⟨π(x), y⟩ = ⟨x, π(y)⟩.
