Integration durch Substitution

Question

ich habe dieses Integral und soll dieses auch bestimmen:

u = x^2 + 1 ; u'= x = du/ dx => dx = du / x

Daher wollte ich die substitution anwenden,Aber leider komme ich nicht auf das richtige Integral, kann mir jemand einen Lösungweg zeigen?

Comments

https://www.integralrechner.de/

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Danke für den Hinweis. Diese Interntseite kenn ich schon.

Answer 1

Klar kann ich dir helfen,

$$ \int {x\cdot e^{x^2+1}dx}$$

also du Substituierst den Exponent:

$$ u = x^2+1 $$

$$ u' = 2x $$

$$ dx = \frac{du}{2x} $$

$$ \int {x\cdot e^u\frac{1}{2x} du} $$

Kürzen und e^u integrieren ist wieder e^x

$$ \rightarrow \frac{e^u}{2} + C $$

$$ \rightarrow \frac{e^{x^2+1}}{2} + C $$

Integralgrenzen einsetzen:

e^0 = 1

e^{1^2+1}=e^{2}

Also: 1 - e^{2}

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Ich hätte noch eine Frage bezüglich der Rechnung vor dem kürzen und e^u untegrieren, wieso 1 / 2x ?

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Kann ich dir sagen, wenn du Substituierst ist die Integrierende Variable nicht mehr x sonder u d.h. du musst das dx durch ein du ersetzen und das geht so:

dx = du/2x

dieses substituierte ableiten und umstellen.

Kurze Antwort: Ich habe dx mit du ersetzt

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Danke, aber das dx = du / 2x. Habe ich verstanden, aber nach dem Schritt ist das Integral x * e^u * 1 / 2x , wie komme ich auf die 1 / 2x ?

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$$ dx = \frac{du}{2x} = \frac{1}{2x} du $$

du ersetzt nun dx (im Integral) durch \( \frac{1}{2x} du \) und kürzt dann das x raus :)

$$ \frac{1}{2x}\cdot x = \frac{1}{2}$$

Soweit klar?

Answer 2

u= x^2+1

du/dx=2x

dx=du/(2x)

->eingesetzt (x kann man kürzen)

=(1/2 ) *e^u +C

=(1/2 ) *e^{x^2+1} +C