Wann sind Ereignisse unabhängig voneinander, wann abhängig?

Question

in der Stochastik stößt man immer wieder auf stochastischunabhängig und - abhängig.

Aber was versteht man darunter eigentlich und wie kann man Ereignisse auf Unabhängigkeit untersuchen?

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Beispielaufgabe:

Sie würfeln mit zwei normalen Spielwürfeln. Überprüfen Sie, ob die Ereignisse A: "Pasch" und B: "Der zweite Würfel zeigt eine Sechs" unabhängig sind.

???

Answer 1

Bei stochastischer Unabhängigkeit muss gelten

P(A∩B)=P(A)*P(B)

In dem vorliegenden Fall, gibt es 6*6=36 mögliche Ergebnisse. Davon erfüllt nur ein Ergebnis beide Ereignisse, nämlich (6,6). Also ist P(A∩B)=1/36

Da es insgesamt 6 Paschs geben kann ist P(A)=6/36=1/6. Da es 6 Kombinationen geben kann bei denen der zweite Würfel eine 6 anzeigt ist P(B)=6/36=1/6. Damit ergibt sich für P(A)*P(B)=1/6*1/6=1/36. Da das auch das Ergebnis ist von P(A∩B) ist die Unabhängigkeit damit bewiesen.

Comments

Alles verstanden! :D

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Noch was:

Zwei Ereignisse sind stoch. unabhängig, falls folgendes gilt:$$P_B(A)=P(A)$$ oder halt andersherum$$P_A(B)=P(B)$$ Gucken wir das doch mal nach. Wir haben \(P(A)=\left(\frac{1}{6}\right)^2\) und "der zweite Würfel zeigt eine Sechs" mit \(P(B)=\frac{1}{6}\). Nun musst du die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit kenne, welche wie folgt lautet:$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ Nun müssen wir noch \(P(A\cap B)\) berechnen, das tun wir wie folgt:$$P(A\cap B)=\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot \frac{1}{6}$$ Nun einfach einsetzen:$$P_A(B)=\frac{\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot \frac{1}{6}}{\left(\frac{1}{6}\right)^2}=\frac{1}{6}$$ So ist es auch bewiesen!