Ach du meinst die Hessematrix . Stell ' s dir doch mal so vor. Bei einer eimdimemsionalen Kurve entspricht dem Gradienten die erste Ableitung f ' ( x ) Notwendige Bedingung: Der Gradient verschwindet.
Die Hessematrix ist negativ definit ===> Maximum ; positiv definit ===> Minimum . Das ist eine hinreichende Bedingung; definit heißt hier: Sämtliche Eigenwerte haben das selbe Vorzeichen.
Im eindimensionalen Fall entspricht der Hessematrix die 2. Ableitung f " ( x )
Jetzt gibt es noch den indefiniten Fall, dass die Hessematrix gleichzeitig positive und negative Eigenwerte hat ===> Sattelpunkt ( SP )
Überleg mal; es gibt nichts, was dieser Situation im eindimensionalen Fall entspricht.
Eine c-Zahl wie f " ( x ) KANN ÜBERHAUPT NICHT INDEFINIT SEIN . Zahlen sind entweder positiv oder negativ .
Dem entspricht: Ein Sattel ist eine ( mindestens ) zweidimensionale Fläche, die in einer Richtung ein Maximum hat und in einer anderen ein Minimum.
Damit ist ein SP ein VERALLGEMEINERTES EXTREMUM .
( Eine Kurve kann überhaupt keinen Sattel haben; das ist absurd. Es gibt ja nur die eine x-richtung. )
Was passiert nun, wenn die Hessematrix H singulär wird, also ein Eigenwert verschwindet? Vergleiche mit f " ( x ) = 0 ; keine Aussage. Erst höhere Ableitungen entscheiden hier ( even Tunnel )
Z.B. für einen ===> Terrassenpunkt ist dann umgekehrt notwendig ( und nicht hinreichend wie oben ) dass die Hessematrix singulär wird.
Ich weiß nicht, ob ich jetzt so absolut geniös bin. Also in Fällen, wo H singulär wird, ziehe ich von der kritischen Stelle sternförmig Geraden nach allen Richtungen und unterwerfe die Funktion einer klaschischen Kurvendiskussion.