Maximum, Minimum bestimmen

Question

Wenn man eine Funktion f hat, die von R³--->R abbildet und man die Extremwerte bestimmt hat. Man findet heraus, dass es drei Eigenwerte gibt. Ein Eigenwert ist 0. Heißt es, dass es semidefinit ist und f keine Extremwerte hat??

Comments

Hallo
was sind Eigenwerte einer funktion f(x,y,z)?
meinst du die Nullstellen des grad?
gruß lul

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Ich meine, wenn man die Nullstellen des grad in hess einsetzt und dann die Eigenwerte bildet.

Es gibt dann 3 Eigenwerte. Ein Eigenwert ist 0. Heißt es, dass es semidefinit ist und f keine Extremwerte hat??

Answer 1

Es gibt dann 3 Eigenwerte. Ein Eigenwert ist 0.

Das ist m.E. der Fall, dass man mit Hilfe der Hessematrix keine Entscheidung treffen kann.

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Gäbe es eine andere Möglichkeit die Extremstellen zu bestimmen?

Answer 2

  Ach du meinst die Hessematrix .  Stell ' s dir doch mal so vor.  Bei einer eimdimemsionalen Kurve entspricht dem Gradienten die erste Ableitung f ' ( x )  Notwendige Bedingung: Der Gradient verschwindet.

   Die Hessematrix ist negativ definit ===>  Maximum ; positiv definit ===>  Minimum . Das ist eine hinreichende Bedingung; definit heißt hier:  Sämtliche Eigenwerte haben das selbe Vorzeichen.

    Im eindimensionalen Fall entspricht der Hessematrix  die 2. Ableitung f " ( x )

   Jetzt gibt es noch den indefiniten Fall, dass die Hessematrix gleichzeitig positive und negative Eigenwerte hat  ===>  Sattelpunkt ( SP )

    Überleg mal;  es gibt nichts, was dieser Situation im eindimensionalen Fall entspricht.

    Eine c-Zahl wie f " ( x ) KANN ÜBERHAUPT NICHT INDEFINIT SEIN  . Zahlen sind entweder positiv oder negativ .

   Dem entspricht: Ein Sattel ist eine ( mindestens )  zweidimensionale Fläche, die in einer Richtung ein Maximum hat und in einer anderen ein Minimum.

   Damit ist ein SP ein VERALLGEMEINERTES  EXTREMUM .

   (  Eine Kurve kann überhaupt keinen Sattel haben; das ist absurd. Es gibt ja nur die eine x-richtung. )

   Was passiert nun, wenn die Hessematrix H singulär wird, also ein Eigenwert verschwindet?  Vergleiche mit f "  ( x ) = 0  ;  keine Aussage.  Erst höhere Ableitungen entscheiden hier ( even Tunnel )

    Z.B. für einen  ===>  Terrassenpunkt ist dann umgekehrt notwendig ( und nicht hinreichend wie oben )   dass die Hessematrix singulär wird.

    Ich weiß nicht, ob ich jetzt so absolut geniös bin. Also in Fällen, wo H singulär wird, ziehe ich von der kritischen Stelle sternförmig Geraden nach allen Richtungen und unterwerfe die Funktion einer klaschischen Kurvendiskussion.

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Was passiert, wenn die anderen Eigenwerte nicht dasselbe Vorzeichen haben? Ein Eigenwert ist 0, der andere Eigenwert ist positiv und der andere Eigenwert ist negativ.

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  ich erinnere an die Sedansfeier aus Carl Zuckmayers Volksstück

   " Der Hauptmann von Köpenigk "

   wo der Direktor der Strafanstalt  auf eine seiner Fragen zur Gliederung von Heeresverbänden die Antwort erhält

   "  Iiis - iiis sich värrschidden, Härr Direktorr. "

    Genau so hier. Die Hessematrix nehmen wir deshalb zu Hilfe, weil sie uns ein hinreichendes Kriterium verspricht.  So bald aber nur ein Eigenwert Null wird, kann alles Mögliche passieren; das Kriterium wird völlig unbrauchbar.  Ich selbst behelfe mir dann ohne Gewehr wie gesagt mit einer Hilfskonstruktion, die so weit auch immer gut gegangen ist. Ob  mein eigenmächtiges Vorgehen jedoch amtlicherseits abgesegnet ist bzw. ob es sogar etwas noch Genialeres gibt, vermag ich nicht zu sagen.

     Die offizielle Lehrmeinung über die Hessematrix entspricht zum Beispiel der Darstellung aus dem " Kuhrand " , dem Klassiker von ===> Richard Courant Bd. 2 .

Answer 3

Hallo

wenn die anderen Eigenwerte das gleich Vorzeichen haben, ist  die HM semidefinit, und man kann damit nichts enscheiden, also muss man den Punkt anders untersuchen, a) mit den Hauptminoren, b) indem man untersucht, ob in der Umgebung nur größere Werte von f vorkommen -> Min. größere und kleinere -> Sattel.

Gruß ledum

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Was passiert, wenn die anderen Eigenwerte nicht dasselbe Vorzeichen haben? Ein Eigenwert ist 0, der andere Eigenwert ist positiv und der andere Eigenwert ist negativ.