Ich nenne die beschriebene lineare Abbildung \(\Phi\). Um die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung \(\Phi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) zu bestimmen ...
Wenn nichts weiter dabei steht, ist davon auszugehen, dass mit der Abbildungsmatrix der linearen Abbildung \(\Phi\) die beschreibende Matrix der linearen Abbildung \(\Phi\) bzgl. der Standardbasis \((e_1, e_2)\) des \(\mathbb{R}^2\) gemeint ist. Dabei ist \[e_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\]
Betrachte nun die Bildvektoren \(\Phi(e_1)\) und \(\Phi(e_2)\) und stelle diese bzgl. der Standardbasis \((e_1, e_2)\) dar. Das heißt: Finde die Koeffizienten \(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\in\mathbb{R}\), so dass \[\Phi(e_1) = a_{11} e_1 + a_{21} e_2\]\[\Phi(e_2) = a_{12} e_1 + a_{22} e_2\] ist. Schreibt man diese Koeffizienten dann in eine Matrix, so erhält man die gesuchte Matrix \[A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\text{.}\]
Da man mit der Standardbasis arbeitet, ist das ganz einfach: \(\Phi(e_1)\) liefert die erste Spalte der Matrix und \(\Phi(e_2)\) liefert die zweite Spalte der Matrix.
Lösungsvorschlag zur Aufgabe:
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Bezeichne die lineare Abbildung \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) mit \(\Phi\).
Die Vektoren \(e_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\) und \(e_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\) der Standardbasis des \(\mathbb{R}^2\) werden auf die Vektoren \(\Phi(e_1) = \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}\) und \(\Phi(e_2) = \begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix}\) abgebildet. Siehe dazu: Rote bzw. grüne Vektoren in der Zeichnung.
Demnach erhält man die folgende Abbildungsmatrix: \[\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\]
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