Entscheiden, ob lim_(x-> unendlich) cos(x)/x^2 Grenzwert hat. Wie?

Question

Entscheiden, ob cos(x)/x^2 Grenzwert hat. Wie?

Ich bearbeite folgende Aufgabe und habe ein paar Probleme dabei... Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen.

Entscheiden Sie, ob der Grenzwert existiert und bestimmen Sie ihn gegebenenfalls. Der Definitionsbereich ist jeweils angegeben. Geben Sie bei Divergenz bitte an, ob bestimmte Divergenz vorliegt oder ob der Grenzwert aus anderen Gründen nicht existiert.

 

Mein Problem hierbei ist, dass ich nicht weiß, wie ich entscheiden kann, ob die Funktionen einen Grenzwert haben...

Ich weiß nicht einmal, was lim von n→−3 heißt,... Ich kenne das nur bis ins Unendliche...

In der Vorlesung haben wir ja die Definition von Grenzwert I und II gehabt. 

Grenzwert I

Grenzwert II

Braucht man, um zu entscheiden, ob die Funktion einen Grenzwert hat, die unteren beiden Definitionen? Falls ja, dann wie? Ich kann mit den Definitionen dieses Mal nicht so viel anfangen Und falls z.B. die a) einen Grenzwert hat, wie kann man den Grenzwert bestimmen? Weil dieser lim von n→3 verwirrt mich komplett...

Wenn mir einer hierbei helfen könnte, wäre das mega lieb.

Freue mich auf eure Antworten!

Comments

Soll es vielleicht \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\cos x}{x^2}\) heißen?

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Tut mir leid, das sollte natürlich x statt n sein !

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Vom Duplikat:

Titel: Existiert der Grenzwert lim cos(x) / x^2 , D = IR \ {0} x→∞ ? Gegebenenfalls bestimmen.

Stichworte: grenzwert,divergenz

Entscheiden Sie, ob der Grenzwert existiert und bestimmen Sie ihn gegebenenfalls.
Der Definitionsbereich ist jeweils angegeben. Geben Sie bei Divergenz bitte an, ob
bestimmte Divergenz vorliegt, oder ob der Grenzwert aus anderen Grunden nicht ¨
existiert.

lim        cos(x) / x² , D = IR \ {0}
x→∞

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EDIT: Habe das in der Überschrift mal präzisiert. Bitte eine Frage / Frage und

die übrigen Fragen falls nötig separat stellen.

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Oh, okay. Ich habe es deshalb nicht gemacht, weil ich dachte, ich würde unnötig spamen.

Aber ich weiß jetzt Bescheid

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Irgendjemand spamt sowieso gerade. Vgl umgeleitetes Duplikat, das vor 12 Minuten eingestellt und hierhin umgeleitet wurde.

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Das muss irgendeiner aus unserer Fakultät sein... Danke.

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Weil dieser lim von x→3 verwirrt mich komplett...

Bei (b) solltest du zuerst Zähler und Nenner faktorisieren. Dann lässt sich vielleicht eine Definitionslücke herauskürzen und du kannst x=3 einfach einsetzen.

Ob du mit diesen Definitionen üben sollst, musst du selber wissen.

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Danke für den Tipp.  Habe auch mitbekommen, dass ich den links und rechtsseitigen Grenzwert betrachten soll, um zu Entscheiden, ob die Funktionen konvergieren

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Habe auch mitbekommen, dass ich den links und rechtsseitigen Grenzwert betrachten soll, um zu Entscheiden, ob die Funktionen konvergieren

Das ist (zumindest später) gar nicht mehr nötig, wenn man eine Definitionslücke einer gebrochenrationen Funktion wegkürzen kann.

Answer 1

  Mein Lieblingsgebiet. Zu Aufgabe a) ;   ist doch weiter kein Akt. Folgt aus bekannten Grenzwertsätzen;  setze x = 3 ein in die Funktionsgleichung und prüfe das Ergebnis gegen Wolfram.

   Bei der b) hast du den Fall  0  :  0  ; hier nun ergäben sich zwei Möglichkeiten. Da du bereits eine Wurzel x1 = ( - 3 ) kennst,   kannst du dich mit Vorteil Vieta des geschmähten Stiefkindes bedienen. Das Zählerpolynom heißt

    z  (  x  )  =  2  (  x  ²  -  p  x  +  q  )            (  1a  )

       p  =  x1  +  x2  =  (  -  1  )  ===>  x2  =  2         (  1b  )

      q  =  x1  x2  =  (  -  6  )  ===>  x2  =  2         (  1c  )

                                 ( x + 3 ) ( x - 2 )                     x - 2

       f  (  x  )  =  2    ---------------------------    =   2  ------------         (  2a  )

                                  ( x + 3 ) ( x - 3 )                   x - 3

        und aus  Darstellung  (  2a  )

          f  (  -  3  )  =  5/3          (  2b  )

    Alternativ wäre die Krankenhausregel; diese liefert

                                    2 x + 1

        lim  =      lim     -------------  =  2  +  lim  1/x           (  2c  )

                                      x

      Stimmen die Ergebnisse überein?    Hausaufgabe; nein. Bissele musst du schon selber tun;  wie erklärst du dir, dass in ( 2ac ) völlig verschiedene Polynome zu Stande kommen? Schicksal?

   Bei Aufg c) fürchte ich, dass es außer mir niemanden mehr gibt, der dir zeigen kann, wie sowas richtig geht. Ich lernte es von einem Genie, dessen ( Pseudonym ) ich lägst vergessen habe. Auch das Portal ist längst ein Fossil aus Saurierzeiten; da hub ein groß Geheule an, als all die sog. " Ränge "  wie " Vizeleonardo hoch 47 11 " und " Einstein on the Rocks " entschädigungslos enteignet wurden.

   Die Moderatoren lesen mein Zeugs übrigens Wort für Wort mit. Nicht um aus meinen Erkenntnissen zu lernen oder mir ihrerseits etwas beizubringen. Sondern nur, ob ich den Namen des Portals erwähne.

   Kennst du noch die Vorabendserie " Renn Buddy renn? "

   Ein Student war unter die Mafiosi geraten und hatte versehentlich  " Klein Huhnchen " gehört (  "  Little Chick "  )  Seit dem flieht er jedesmal, wenn jemand " Klein Hühnchen " sagt, weil es um sein Leben geht - so ähnlich ist es wohl mitr obigem Portal auch.  Sagt der Dekan

    " Halten Sie ihn doch auf. "

   " Aber wie? "

   " Sprechen Sie mit der Autorität des Lehrkörpers. "

   Brüllt der Assistent in seine Tröte ( Megafon )

   " Achtung Achtung; hier spricht der Lehrkörper ... "

   Der ursprüngliche Vorschlag erwies sich dann doch nicht als allgemein genug.

   Tut mir Leid, dass ich jetzt unterbrechen ünd mittendrin abschicken muss;  ich bekomme laufend sog. Systemupdates, die mein Betriebssystem einem ungewissen Schicksal aussetzen.   Bitte nicht löschen; ein Teil der Aufgabe ist ja schon gelöst.

   Ich mach sie auch alle; Ehrenwort. Ich muss halt nur meinen Link wieder finden. Den Rest erledige ich lieber in Form eines Kommentars.

Comments

  Mal sehen, wie weit er mich heut Morgen noch lässt.     Wir hatten gesagt c)  Der allgemeinste Fall wird abgedeckt durch die verallgemeinerte ===>  Inversion

    x  ^  r  =:  1 / z  ^  m   ;  m  €  |N  ;  r  €  |R       (  2.1a  )

    Hierbei ist r die höchste Potenz von x unter dem Radikanden, wir haben hier x ^ 1/2    so wie x  ^  1   . Demnach ist r  =  1  .  Und m ist die Ordnung der Wurzel, hier m = 2 für Quadratwurzel.   In unserem Fall gilt demnach

         x  =  1 / z  ²       (  2.1b  )

       x  ^ 1/2  =  1 / z      (  2.1c  )

    Warum machen wir das; was kriegen wir dann?  In deinem Fall

   F  (  x  )  =  F  (  z  )  =  sqr  (  1/z ²  +  1/z  )  -  sqr  (  1/z  ²  )  =     (  2.2a  )

    =  ( 1/z  )  [  sqr  (  z  +  1  )  -  1  ]        (  2.2b  )

   Wenn du genau so vorgehst, kriegst du also immer Vorfaktor 1/z .  Aber F ( z ) ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ )  der Funktion

         f  (  z  )  :=  sqr  (  z  +  1  )        (  2.3a  )

     genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z.  Schlicht und ergreifend weil f ( 0 ) = 1  Und en Grenzwert dieses DQ kennt ihr, nämlich die Ableitung f ' ( 0 )

       f  '  (  z  )  =  1 / 2  sqr  (  z  +  1  )           (  2.3b  )

       f  '  (  0  )  =  1/2     (  2.3c  )

     Ich bekam mal einen zynischen Kommentar

   " Wozu lernen wir eigentlich Definitionsbereich, wenn man so Aufgaben durch Transformation des Definitionsbereicxhs löst? "

   Im Unendlichen kannst du schließlich keine Ableitungen bilden; und die Unendlichkeit wurde schon gedacht, als an die erfindung der Null noch lange nicht zu denken war ...

Answer 2

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