Stelle fest, ob Operationen kommutativ/ assoziativ sind.

Question

man soll feststellen ob folgende Operationen kommutativ/assoziativ sind und welche Paare (X, • ) Gruppen bilden. Hier soll ich auch ggf das neutrale und inverse Element bestimmen.

a) X = ℝ, x • y = max (x,y)

b) X = ℝ, x • y = x + y +1

c) X = ℝ, x • y = x + y + xy

Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

a) x * y = max ( x , y )

Kommutativität: x * y = max ( x , y ) = max ( y , x ) = y * x  ✓

Assoziativität: ( x * y ) * z = max ( max ( x , y ) , z ) = max ( x , max ( y , z ) ) = x * ( y * z )  ✓

Neutrales Element e: x * e = e * x = x <=> max ( x , e ) = max ( e , x ) = x

Ein solches Element e kann es nicht geben, denn es müsste kleiner als alle x ∈ R sein. 

Damit ist die Struktur zu a) keine Gruppe.

 

b) x * y = x + y + 1

Kommutativität: x * y = x + y + 1 = y + x + 1 = y * x   ✓

Assoziativität: ( x * y ) * z = ( x + y + 1 ) + z + 1 = x + ( y + z + 1 ) + 1 = x * ( y * z ) ✓

Neutrales Element e: x * e = e * x = x <=> x + e + 1 = e + x + 1 = x <=> e = - 1

Inverses Element: x * x ^{- 1} = e = - 1 <=> x + x ^{- 1} + 1 = - 1 <=> x ^-1 = - 2 - x

Damit ist die Struktur zu b) eine Gruppe, und zwar wegen der Kommutativität sogar eine abelsche Gruppe.

 

c) Versuche bitte nach dem gleichen Muster mal selbst.

Comments

c) X = ℝ, x * y = x + y + xy

kommutativ: x * y = x + y + xy = y + x + xy = y * x  ✓

assoziativ: (x* y) * z = (x + y + xy) + z +yz = x + xy + (y + z + yz) = x* (y * z) ✓

neutrales Element e : x =  x * e = x + e +xe = e + x + ex = x*e = x also e + x + ex = x ⇔ e = - ex ⇔ es gibt kein neutrales Element also ist c) keine Gruppe.


Wäre das so richtig?

---

Nicht schlecht - aber leider alles ein bisschen bis sehr falsch :-)

Kommutativität: Hier hast du nur einen geringfügigen formalen Fehler gemacht. Du hast geschrieben:

x * y = x + y + xy = y + x + xy = y * x

Den fett gesetzten Summanden hättest du aus formalen Gründen als yx schreiben müssen. Am Ergebnis ändert das aber nichts, weil xy = yx ist. Die Verknüpfung ist also kommutativ.

Assoziativität: Hier hast du die Verknüpfung der drei Elemente nicht korrekt umgesetzt. Das ist dann doch schon ein schwererer Fehler. Korrekt wäre:

( x * y) * z = ( x + y + xy ) + z + xyz = x + y + xy + z + xyz

aber

x * ( y * z ) = x + ( y + z + yz ) + xyz = x + y + z + yz + xyz

Der Vergleich liefert den Unterschied: Anstelle von xy steht in der zweiten Zeile yz. Die Ausdrücke

( x * y ) * z und x * ( y * z ) liefern also nicht für alle x, y, z dasselbe Ergebnis. Die Verknüpfung ist also nicht assoziativ und die Struktur zu c) daher keine Gruppe

Neutrales Element e:

Hier hast du geschrieben: x =  x * e = x + e +xe = e + x + ex = x*e = x

An der fett gesetzten Stelle müsste es wieder aus formalen Gründen e*x heißen. Sonst ist die Umformung aber korrekt.

Bei der Auflösung von  e + x + ex = x aber bist du dann wohl doch ein wenig durcheinander geraten:

e + x + e x = x

<=> e + e x = 0

<=> e ( 1 + x ) = 0

<=> e = 0 ODER 1 + x = 0 (das zweite Ergebnis ist hier nicht von Interesse (Spezialfall x = - 1 ) ). Wichtig ist, dass e = 0 ein allgemeines, also für alle x,  neutrales Element ist, wie man an folgender Rechnung sieht:

 e * x = 0 * x = 0 + x + 0 x = x

---

dankeschön :)

und inverses element gibt es hier nicht, oder?without

---

Doch, es gibt auch ein inverses Element, welches ich mal mit xi abkürze:

Für xi muss gelten:

x • xi = e = 0

also:

x • xi = x + xi + x * xi = 0

<=> xi + x * xi = - x

<=> xi * ( 1 + x ) = - x

<=> xi = - x / ( x + 1 )

Probe:

x • xi = x + ( - x / ( x + 1 ) ) + x ( - x ) / ( x + 1 )

[1 / ( x + 1 ) ausklammern:

= ( 1 / ( x + 1 ) ) * ( x * ( x + 1 ) - x - x * x )

= ( 1 / ( x + 1 ) ) ( x * x + x - x - x * x )

= ( 1 / ( x +1 ) ) * 0

= 0 ✓

Allerdings gibt es nicht zu jedem Element ein inverses Element: Die Ausnahme ist x = - 1

Auch aus diesem Grunde ist die Struktur zu c ) keine Gruppe.