y'=4x/y-1; wie kann man zu folgendem Ergebnis kommen ? y= ln(4x-4+ce^ (-x))
Hallo
setze Klammern sonst ist das unlesbar
ist es y'=4x/(y-1) oder y'=4x/y -1
auch in der Lösung fehlen wohl Klammern
Gruß ledum
Lieber Antworter; Deine Kritik ist nicht ganz richtig: mit (eigentlich überflüssigen) Klammern sieht dads so aus : y'= 4 (x/y) -1 , d.h. die -1 ist nicht Bestandteil des Nenners. Danke mimo
auf eine implizite Lösung kommt man mit der Substitution u=y/x,
ich hab deine angebliche Lösung in die Dgl eingesetzt und kann nicht sehen, dass die Lösung sie erfüllt? Woher kommt denn diese Lösung?
Gruß lul
Hallo.
Falls die Aufgabe so lautet:
Als kleine Motivation, doch Latex zu benutzen. Die Eingabe hat mich exakt 2 Minuten gekostet, ist leserlicher und wiederverwendbar/editierbar und nimmt wesentlich weniger Speicherplatz in Anspruch als ein Bild:$$ y' = \frac{4x}{y-1} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{4x}{y-1} \\ (y - 1) dy = 4x dx \\ \frac{y^2}{2} - y = 2x^2 + C \quad |·2 \\ y^2 - 2y = 4x^2 + 2C \\ y^2 - 2y - 4x^2 - 2C = 0 \\ y_{1,2} = 1 ± \sqrt{1 + 4x^2 + 2C} $$https://www.matheretter.de/rechner/latex
Außerdem - kann ich aus eigener Erfahrung sagen - ist es wirklich sehr einfach zu lernen.
Ja - LaTeX ist wirklich besser. Und leserlich stimmt auch. Der GrosseLoewe meinte in der zweiten und dritten Zeile:
$$\begin{aligned} \frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= \frac{4x}{y-1} \\ (y - 1)\, \text{d}y &= 4x \, \text{d}x \end{aligned}$$
LaTeX ist ein WYTIWYG -Werkzeug im Gegensatz zum WYSIWYG.
Blöd bloß, dass mimo nach der Lösung für $$y'= 4\frac{x}{y} - 1$$ sucht (s.o.). Das ist schwieriger ...
Blöd bloß, dass mimo nach der Lösung für sucht (s.o.).
Ich gehe sehr stark davon aus, dass die Klammern einfach falsch gesetzt sind.
@Werner-Salomon: Danke für den Hinweis, oben geändert (10 Sekunden). Und hier wieder: Wie viel Zeit würde es kosten, ein komplett neues Bild hierfür zu erstellen und hochzuladen etc.
Falls die DGL so lautet:
y'= 4 (y/x) -1 ??
Die kann mit Variation der Konstanten oder Substitution gelöst werden.
Substitution:
z=y/x
y=z*x
y'=z+z'x
->eingesetzt:
z+z'x= 4z-1 |-z
z' x =3z-1
(dz/dx) *x=3z-1
dz/(3z-1) =dx/x
usw.
Guter Weg, nur ist die Aufgabe y' = 4(x/y) -1, das heißt Zähler und Nenner sind vertauscht! Was nun? DANKE , mimo
Was nun?
Entweder befragst Du Wolfram Alpha und bekommst eine wilde Lösung oder Du rechnest es nummerisch durch. Die Ergebnisse sähen dann etwa so aus:
Alle Kurven nähern sich asymptotisch an die lineare Funktion \(y=\frac12 (\sqrt{17}-1)x\) an. Woher stammt die DGL?
Falls die Aufgabe wirklich so lautet :
z= y/x
y'= z+z'*x
--->eingesetzt:
z+z'x=4/z -1 |-z
z'x =4/z -1-z
dz/dx *x =4/z -1-z
dz/((4/z) -z -1)= dx/x
tipp: y(a)=ln(a) => y'(a)=1/a
setzte a:= (4x-4+ce^ (-x))
danach noch Kettenregel beachten
substituiere
$$y=x*u(x),\\ y'=u(x)+xu'(x)\\$$
und setze dies in die DGL ein.
Dan erhält man
$$v'=\frac{-u^2-u+4}{xv}$$
bzw.
$$-du\frac{u}{u^2+u-4}=\frac{dx}{x}$$
Ab hier geht es mit Partialbruchzerlegung weiter.
Auf deine Lösung komme ich dann allerdings nicht, sie besteht auch nicht die Probe.
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