Lösungsweg gesucht für y. y'=4x/y-1

Question

y'=4x/y-1; wie kann man zu folgendem Ergebnis kommen ? y= ln(4x-4+ce^ (-x))

Comments

Hallo

 setze Klammern sonst ist das unlesbar

 ist es y'=4x/(y-1) oder y'=4x/y -1

auch in der Lösung fehlen wohl Klammern

Gruß ledum

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Lieber Antworter; Deine Kritik ist nicht ganz richtig: mit (eigentlich überflüssigen) Klammern sieht dads so aus : y'= 4 (x/y) -1 , d.h. die -1 ist nicht Bestandteil des Nenners. Danke mimo

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Hallo

auf eine implizite Lösung kommt man mit der Substitution u=y/x,

ich hab deine angebliche Lösung in die Dgl eingesetzt und kann nicht sehen, dass die Lösung sie erfüllt? Woher kommt denn diese Lösung?

Gruß lul

Answer 1

Hallo.

Falls die Aufgabe so lautet:

Comments

Als kleine Motivation, doch Latex zu benutzen. Die Eingabe hat mich exakt 2 Minuten gekostet, ist leserlicher und wiederverwendbar/editierbar und nimmt wesentlich weniger Speicherplatz in Anspruch als ein Bild:

$$ y' = \frac{4x}{y-1} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{4x}{y-1} \\ (y - 1) dy = 4x dx \\ \frac{y^2}{2} - y = 2x^2 + C  \quad |·2 \\ y^2 - 2y = 4x^2 + 2C \\ y^2 - 2y - 4x^2 - 2C = 0 \\ y_{1,2} = 1 ± \sqrt{1 + 4x^2 + 2C} $$

https://www.matheretter.de/rechner/latex

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Außerdem - kann ich aus eigener Erfahrung sagen - ist es wirklich sehr einfach zu lernen.

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Ja - LaTeX ist wirklich besser. Und leserlich stimmt auch. Der GrosseLoewe meinte in der zweiten und dritten Zeile:

$$\begin{aligned} \frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= \frac{4x}{y-1} \\ (y - 1)\, \text{d}y &= 4x \, \text{d}x \end{aligned}$$

LaTeX ist ein WYTIWYG -Werkzeug im Gegensatz zum WYSIWYG.

Blöd bloß, dass mimo nach der Lösung für $$y'= 4\frac{x}{y} - 1$$ sucht (s.o.). Das ist schwieriger ...

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Blöd bloß, dass mimo nach der Lösung für sucht (s.o.).

Ich gehe sehr stark davon aus, dass die Klammern einfach falsch gesetzt sind.

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@Werner-Salomon: Danke für den Hinweis, oben geändert (10 Sekunden). Und hier wieder: Wie viel Zeit würde es kosten, ein komplett neues Bild hierfür zu erstellen und hochzuladen etc.

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Falls die DGL so lautet:

y'= 4 (y/x) -1 ??

Die kann mit Variation der Konstanten oder Substitution gelöst werden.

Substitution:

z=y/x

y=z*x

y'=z+z'x

->eingesetzt:

z+z'x= 4z-1 |-z

z' x =3z-1

(dz/dx) *x=3z-1

dz/(3z-1) =dx/x

usw.

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Guter Weg, nur ist die Aufgabe y' = 4(x/y) -1, das heißt Zähler und Nenner sind vertauscht! Was nun? DANKE ,  mimo

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Was nun?

Entweder befragst Du Wolfram Alpha und bekommst eine wilde Lösung oder Du rechnest es nummerisch durch. Die Ergebnisse sähen dann etwa so aus:

Alle Kurven nähern sich asymptotisch an die lineare Funktion \(y=\frac12 (\sqrt{17}-1)x\) an. Woher stammt die DGL?

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Falls die Aufgabe wirklich so lautet :

z= y/x

y=z*x

y'= z+z'*x

--->eingesetzt:

z+z'x=4/z -1 |-z

z'x  =4/z -1-z

dz/dx *x =4/z -1-z

dz/((4/z) -z -1)= dx/x

usw.

Answer 2

tipp: y(a)=ln(a) => y'(a)=1/a

setzte a:= (4x-4+ce^ (-x))

danach noch Kettenregel beachten

Answer 3

substituiere

$$y=x*u(x),\\ y'=u(x)+xu'(x)\\$$

und setze dies in die DGL ein.

Dan erhält man

$$v'=\frac{-u^2-u+4}{xv}$$

bzw.

$$-du\frac{u}{u^2+u-4}=\frac{dx}{x}$$

Ab hier geht es mit Partialbruchzerlegung weiter.

Auf deine Lösung komme ich dann allerdings nicht, sie besteht auch nicht die Probe.