Der Zweck ist hier, dass man eine Ordnung so einführen möchte, wie man sich das gewohnt ist.
Man will also, dass aufgrund der Definition rauskommt, dass 12 < 14 ist und nicht 12 = 14 und nicht 14 < 12.
Offenbar wurde im Buch als Erstes eine Addition definiert. Die wird hier verwendet um das Ungleichheitszeichen so zu richten, wie du's kennst.
"wenn sich b als Summe von von und einem weiteren natürlichen Summanden n schreiben lässt."
Muss heissen:
"wenn sich b als Summe von a und einem weiteren natürlichen Summanden n schreiben lässt."
Der ganze Satz in der Definition ist die formale Umschreibung dieser Aussage:
a < b ⇒ a + n = b 'schreiben lässt' heisst 'es gibt so ein n,' wenn man's berechnen kann, ist alles ok.
Bei deinem Beispiel mit a= 12 und b = 14
willst du sicherlich a<b schreiben dürfen.
Nach dem Text ist das erlaubt, weil 12 + 2 = 14. Es gibt so ein n, nämlich n=2 Deshalb ok.
Nimmt man a = 13 und b = 10
möchte man, b < a oder a > b schreiben.
Nach Definition ist das Links erlaubt, da 10 + 3 = 13 Mit n=3 klappt das. Deshalb 10<13, b<a
Das ist dasselbe wie 13 - 3 = 10, in Buchstaben a - n = b Dafür schreibt man a > b
