Nullstelle, Polstelle und hebbare Unstetigkeiten einer Funktion

Question

Ich weiß leider nicht wie man bei Polynomen Nullstellen, Polstellen und hebbare unstetigkeiten bestimmt. Könntet Ihr mir kurz anhand dieser Aufgabe erklären wies gehen soll? (nur die Rechenwege kurz vorzeigen)  

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Nullstellen, Polstellen und hebbaren Unstetigkeiten der gebrochenrationalen Funktion f(x)=(x³−x²−2x ) / (x²+4x+3).

Answer 1

Hi Mambo

f(x) = (x^{3}−x^{2}−2x ) / (x^{2}+4x+3)

Nullstellen:

Den Zähler 0 setzen: x^3 - x^2 - 2x = 0

x(x^2-x-2) = 0

x_(1) = 0

x^2-x-2 = 0 mit pq-Formel -> x_(2) = -1, x_(3) = 2

Nullstellen bei x = 0, x = -1 und x = 2

Polstellen:

Den Nenner 0 setzen: x^2+4x+3 = 0 mit pq-Formel

x_(4) = -3, x_(5) = -1

Polstellen bei x = 4 und x = -1

hebbare Definitionslücke

x_(2) = x_(5), wobei ersteres im Zähler und letzteres im Nenner steht. Das heißt die heben sich gegenseitig weg und wir haben eine hebbare Unstetigkeitsstelle. Damit sind auch die obigen Ergebnisse zu korrigieren. An der Stelle x = -1 haben wir weder eine Nullstelle noch eine Polstelle.

Alles klar?

Grüße

Comments

Kurz gefasst: nst: x=0 , x2= -1; x3= -2

                      Poltellen: -3 (-1 fällt weg?)

                      hebbare unstetigkeit: an der stelle x= -1

nst hab ich auch so, doch verstehe ich das mit den Polstellen und hebbare unstetigkeiten nicht.

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Die Nullstelle x = -1 musst du rausnehmen, da diese auch im Nenner vorhanden ist. Letztlich ist bei x = -1 eine hebbare Unstetigkeitstelle.

Nullstelle: Hier schneiden wir mit dem Graphen die x-Achse (das ist bei x = -1 eben nicht der Fall)

Polstelle: Hier haben wir eine senkrechte Asymptote bspw bei x = -3

hebbare Unstetigkeit: Wenn eine Nullstelle im Zähler und Nenner auftaucht (gleich oft), dann heben sich diese gegenseitig weg. Wir haben dann zwar keine Nullstelle des Graphen, aber auch keine Polstelle mehr. Im Graphen sieht das so aus, als würde alles normal verlaufen, aber in Wirklichkeit fehlt ein Punkt.

Hier noch einmal der Graph:

~plot~ (x^3-x^2-2x)/(x^2+4x+3); [[-6|4|-100|20]] ~plot~

Hier sieht man bei x = -3 eine Polstelle. Bei x = 0 und x = 2 sind Nullstellen zu erahnen.

x = -1 ist nicht weiter auffällig. Weder eine Polstelle, noch eine Nullstelle. In Wirklichkeit haben wir hier ein Loch. Bei euch wird das eventuell mit einem Kasten ummalt um das zu zeigen?! ;)

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also ich habs so eingegeben wie dus gesagt hast aber leider soll es so nicht aufgehen können.

-3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3 komme vor ! Und neben jeder einzelnen Zahl hab ich die Wahl: Polstelle, Nullstelle, Hebbare Unstetigkeit und nichts davon. Ich muss es online angeben und kann sofort sehen, ob es richtig oder falsch ist.

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-3: Polstelle

0, 2: Nullstellen

-1: hebbar

Rest: nichts

:)

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danke, hab versehentlich -2 angegeben.

Answer 2

f ( x ) = ( x^3−x^2−2x ) / (x^2+4x+3)

kann ersetzt werden durch
f ( x ) = [ x * ( x + 1 ) * ( x - 2 ) ] / [ ( x + 1 ) * (x + 3) ]
Da Divisionen durch 0 nur schlecht möglich sind
muß  man den Def Bereich der Funktion begrenzen
auf
D = ℝ \ { -1 ; -3  }

falls man
lim x −> -1 geht, also ( x + 1 ) noch nicht null ist kann
noch ( x + 1) gekürzt werden
f ^* ( x ) = [ x * ( x + 2 ) ] /  (x + 3)
Diese Funktion hätte den Def-Bereich
D = ℝ \ { -3  }

In f ( x ) ist -3 eine Polstelle; -1 eine hebbare Lücke.

Comments

Nst wären noch x=0 x=-2.  x =-1 hebt sich auf, weil es im Zähler und Nenner vorkommt oder nicht? wie du erwähnt hattest ist es eine Polstelle. bisher alles richtig ?

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Kann es sein, dass du deine Nachricht versehentlich
bei mir eingestellt hast und diese an " Unknown "
gehen sollte ?
Ansonsten frage bei mir nach bis alles klar ist.

Answer 3

Hi Mambo96,

was man sich merken sollte:

1.) Keine Division durch 0, sowas wie 5/0 ist nicht erlaubt d.h. Nenner Untersuchen!

$$ f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} $$

Für Polstellen:

$$ q(x) = 0 $$

Bei dir ist dies dann eine quadratische Gleichung, die du mit der PQ-Formel lösen kannst, einfach in den Taschenrechner eingeben und fertig :)

2.) Wann wird ein Bruch 0? Wenn der Zähler 0 ist! Das beantwortet dann die Frage nach den Nullstellen

Für Nullstellen:

$$ p(x) = 0 $$

Das ist bei dir eine kubische Funktion, die Lösung ist x(x^2-x-2) = 0

Satz vom Nullprodukt und anwenden der PQ Formel auf x^2 -x -2 = 0