Potenzreihe von _(0)^{X} ∫f(t)dt? Funktion f(t)= (e^t-1)/t

Question

f(t)= (e^t-1)/t

a) entwicklung der funktion mit hilfe der bekannten Potenzreiche von e^t um t₀  =0

b) Potenzreihe von

₀^X  ∫f(t)dt

?

EDIT: Klammern ergänzt und Hoch-, Tiefstellung korrigiert gemäss Foto.

Comments

Meinst Du die Funktion $$ f(t) = \frac{e^t - 1}{t} $$ oder $$ f(t) = e^t - \frac{1}{t} $$

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Fuay hat hier in einem Kommentar ein Foto eingestellt. https://www.mathelounge.de/551414/potenzreihe-binomische-reihe-edit-f-x-1-3-1-x-3-10

Das ist reichlich unscharf und unvollständig. Sollte aber wohl die erste Version sein.

Also

f(t)= (e^{t}-1)/t

Answer 1

a)

$$\frac{e^t -1}{t}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{t^n}{n!}}/t=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{t^{n-1}}{n!}}$$

b)

$$\int_{0}^{x}\frac{e^t -1}{t}dt=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x}{\frac{t^{n-1}}{n!}}dt=\sum_{n=1}^{\infty}[{\frac{t^{n}}{n*n!}}]_{0}^x=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n*n!}}$$