Aufgabe:
Bestimme die Konvergenzkreisscheibe der Potenzreihe.
Text erkannt:
) (a) Bestimmen Sie bitte die Konvergenzkreisscheibe \( M= \)
\( U_{R}\left(z_{0}\right) \) der Potenzreihe
\( [10] \)
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \sqrt[k^{k}]{\left(\exp \left(\left(\left(k+\sqrt[k]{3^{2 k}+3^{k}}\right)^{k}+k^{k} \cdot \sqrt[k]{k}\right) \log (3)\right)\right)^{k}}\left(2+\frac{1}{3} z\right)^{k} \)
(b) Für \( a \in \mathbb{R} \) sei die Potenzreihe
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(\sqrt[4]{k+1})^{-4(a+1)-8}}{\sqrt[3]{(k+1)^{-3|a+1|}}} z^{k} \)
[8]
gegeben. Bestimmen Sie bitte die größtmögliche Menge \( A \) aller Parameterwerte \( a \), für die diese in \( z=+1 \) konvergiert!
(c) Zeigen Sie bitte, dass aus der absoluten Konvergenz der Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) die Konvergenz der Reihe
\( [7] \)
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \sqrt{\left|a_{k} \cdot a_{k+1}\right|} \) folgt.
Problem/Ansatz:
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(a) Bestimmen Sie bitte die Konvergenzkreisscheibe \( M= \) \( U_{R}\left(z_{0}\right) \) der Potenzreihe
\(\sum \limits_{k=0}^{\infty} \sqrt[k^{k}]{\left(\exp \left(\left(\left(k+\sqrt[k]{3^{2 k}+3^{k}}\right)^{k}+k^{k} \cdot \sqrt[k]{k}\right) \log (3)\right)\right)^{k}}\left(2+\frac{1}{3} z\right)^{k}\)
(b) Für \( a \in \mathbb{R} \) sei die Potenzreihe
\(\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(\sqrt[4]{k+1})^{-4(a+1)-8}}{\sqrt[3]{(k+1)^{-3|a+1|}}} z^{k}\)
gegeben. Bestimmen Sie bitte die größtmögliche Menge \( A \) aller Parameterwerte \( a \), für die diese in \( z=+1 \) konvergiert!
(c) Zeigen Sie bitte, dass aus der absoluten Konvergenz der Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) die Konvergenz der Reihe
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \sqrt{\left|a_{k} \cdot a_{k+1}\right|} \) folgt.
