Hallo Denise,
a) die x1-x2-Ebene ist die Ebene die durch die x1- und die x2-Achse aufgespannt wird. Der Einheitsvektor in x3-Rictung steht senkrecht auf dieser Ebene und die Ebene enthält den Ursprung. Folglich ist eine Normalengleichung dieser Ebene
$$E_1: \space \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} x = 0$$
und die zugehörige Koordinatenform, die ausmultiplizierte Variante der Normalengleichung
$$E_1: \space \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \quad \Rightarrow x_3=0$$
c) Auf einer Ebene, die parallel zur x1-x3-Eben verläuft, steht in jedem Fall der Einheitsvektor in x2-Richtung senkrecht \(e_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^T \). Liegt auch der Punkt \( P=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}^T\) dort drin, so erhält man die Normalengleichung für \(E\) aus
$$E: \space \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} x= \space \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = -2$$ und die Koordinatenform ist dann einfach $$E: \space x_2=-2$$ Ich habe Dir diesen Teil noch mal im Geoknecht3D eingegeben:
dort siehst Du den Punkt \(P\), den Normalenvektor der Ebene \(E\), der in Richtung der x2(Y)-Achse zeigt und die Ebene (grün) selbst. Klick auf das Bild; anschließend kannst Du die Szene mit der Maus drehen. So bekommst Du einen räumlichen Eindruck.
Gruß Werner
