Poisson-Gleichung Neumann

Question

Ich habe eine Poisson-Gleichung als Aufgabenstellung:

-Laplace u = f auf dem Gebiet [0,pi]^2

-homogene Neumann Randbedingungen

-die Quellfunktion f ist gleich 1 [pi/4,pi/2]^2, gleich -1 [pi/2,3pi/4]^2 und sonst gleich 0

-vorgegeben sei außerdem, dass der Mittelwert von f gleich 0 ist.

Frage:

1. Warum ist zusätzlich der Mittelwert vorgegeben?

2. Welche Bedingungen müssen an f gestellt werden, damit das Problem eine Lösung besitzt?

Ich finde zu diesen Fragen keine zufriedenstellende Antwort, würde mich über Hilfe freuen.

Dankeschön

Daniel

Answer 1

1. Warum ist zusätzlich der Mittelwert vorgegeben?

Weil u selber in den Gleichungen nirgendwo vorkommt, nur die Ableitungen von u beginnend mit der ersten. Mit u ist dann immer auch u + const. eine Lösung.

2. Welche Bedingungen müssen an f gestellt werden, damit das Problem eine Lösung besitzt?

Jedenfalls keine uebertriebenen. Kommt natuerlich auf den zugrunde gelegten Lösungsbegriff an. Bei klassischen Lösungen wuerde man \(u\in C^2\) fordern, und dann muesste schon \(f\in C_0\) sein. Um klassische Lösungen geht es hier also schon mal nicht.

Wenn man Deine Gleichung ueber \(\Omega=[0,\pi]^2\) integriert und den Satz von Gauss nimmt, kriegt man wegen \(\Delta u=\operatorname{div}\operatorname{grad}u\) $$\oint_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=\int_\Omega f\,dV$$ als notwendige Bedingung für die Existenz einer Lösung raus. Das haut ja bei Dir hin.

Comments

Danke für die schnelle Hilfe.

Und durch die Angabe des Mittelwertes gibt es keine Konstante und somit ist die Gleichung eindeutig zu lösen?

Wir nehmen immer den Produktansatz zum lösen, bestimmen zuerst die Eigenfunktionen (bei Neumann-Rand die Cosinus-Fkt.) und Eigenwerte, danach entwickeln wir f und u in einer Reihe.

Sind die Bedingungen dann genauso definiert?

Grüße Daniel

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Wir nehmen immer den Produktansatz zum lösen, bestimmen zuerst die Eigenfunktionen (bei Neumann-Rand die Cosinus-Fkt.) und Eigenwerte, danach entwickeln wir f und u in einer Reihe.

Na dann probier das doch hier auch. Nehmen wir vielleicht mal $$u=\sum a_{mn}\cos mx\cos ny$$ als Ansatz. Dann haben wir $$-\Delta u=\sum a_{mn}(m^2+n^2)\cos mx\cos ny\stackrel{!}{=}f(x,y).$$

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Was meinst du mit =!?

Nicht gleich f(x,y) oder gleich f(x,y)?

Meiner Meinung nach ist dies nicht gleich oder liege ich da falsch?

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Na, das \(!\) ueber dem \(=\) soll andeuten, dass man diese Gleichheit haben will. Zumindest ich will ja eine Lösung \(u\) von \(-\Delta u=f\) angeben. Was willst Du? Hast Du nicht erzaehlt, ihr wuerdet das immer so machen? Entwickle \(f\) in eine Fourierreihe und bestimme die \(a_{mn}\) durch Koeffizientenvergleich.

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Ja, du hast recht das möchte ich natürlich auch. Ich habe eine Reihenentwicklung gemacht und u bestimmt, das hat soweit geklappt. Mir erschließt sich das mit dem Mittelwert nur nicht.

Mein Wissensstand:

Dirichlet-RB => sinus-FKT => kein Mittelwert benötigt.

Neumann-RB => cosinus-FKT => Mittelwert benötigt, weil u keine direkte Lösung ist, da durch die Ableitung ein C hinzu kommt und somit nicht direkt bestimmbar ist. Wenn jetzt der Mittelwert bekannt ist, kann ich dann C bestimmen?

Danke für deine Hilfe!

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Ich habe eine Reihenentwicklung gemacht und u bestimmt, das hat soweit geklappt.

Da muesstest Du dann gemerkt haben, dass sich für \(a_{00}\) aus dem Vergleich der Reihen kein Wert ergibt. Justiere es so, dass sich der vorgeschriebene Mittelwert einstellt.

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Da bei uns der Mittelwert 0 ist, ergibt sich für u auch 0.

Wenn der Mittelwert nicht 0 ist, dann ergibt sich für f_mn ein neuer Wert und somit für u_mn und u?

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Was rechnest Du da am Ende für einen Quatsch? Bei der Aufgabe ist

• \(\lambda_{00}=0\),

• \(f\ne0\).

Und das Absolutglied \(u_{00}\) im Reihenansatz für \(u\) faellt beim Ableiten weg. Ich hab's Dir bereits gesagt: Fuer \(u_{00}\) hast Du keine Gleichung. Und es muss \(f_{00}=0\) sein, sonst kann der Ansatz nicht aufgehen.

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ja mir fehlt das Verständnis für die ganze Sache, daher habe ich auch Probleme bei der Beantwortung der Fragestellung, auch weil unser Script zur Vorlesung keinerlei Informationen dazu enthält.

Ich habe die Aufgabe jetzt so abgegeben mit den Informationen von Dir, Danke für deine Hilfestellung und die Ausdauer, und hoffe es richtig wiedergegeben zu haben!

Grüße Daniel