Aufgabe exponentialreihe

Question

Hallo , danke im Voraus für die Hilfe bei dieser Aufgabe.

Wir betrachten die Exponentialreihe
exp(z) := ∑from 0 to ∞ (1/(k!))* z^k
und die reellle Exponentialfunktion f(x) := exp(x) mit x ∈ ℝ.

1. Bestimmen Sie den maximalen Fehler

 |f (x) − P2 (x)| auf dem Intervall [−0.01, 0.01]

2. Finden Sie ε > 0, so dass |f(x) − T2(x)| < 0.000000001 für |x| < ε.

Comments

"exp(z) := ∑from 0 to ∞ (1/(k!))* zk "

Schonmal von Latex gehört?

Answer 1

Zu (1) kannst du eine Restgliedabschätzung nach Lagrange machen:

$$ |R_2(x)|=\Bigg|\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\cdot x^3 \Bigg|=\Bigg|\frac{e^{\xi}}{6}\cdot x^3 \Bigg|\leq \Bigg|\frac{e^{0,01}}{6}\cdot 0,01^3 \Bigg|\\[25pt]=\Bigg|\frac{e^{0,01}}{6}\cdot \frac{1}{10^6} \Bigg|<\Bigg|\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{10^6} \Bigg|=\underline{\underline{0,2\cdot 10^{-6}}} $$