Weg aus drei gleichlangen Teilstrecken

Question

Konstruiere im linken Bild einen Weg aus drei gleichlangen Teilstrecken von A nach B, wie im rechten Bild dargestellt:

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Konstruktion eines Streckenzuges

Stichworte: konstruieren,geometrie

An einer Weggabelung bilden zwei geradlinige Wege einen gegebenen Winkel. Auf einem der beiden Wege ist ein Ziel festgelegt. Zwischen den Wegen liegt eine Wiese. Gesucht ist der Weg eines Fußgängers, der an der Weggabelung steht und auf drei gradlinigen, gleichlangen Teilstrecken zum Ziel gelangen soll. Zwei Teilstrecken sollen auf je einem der beiden Wege, die dritte Teilstrecke auf der Wiese liegen. Man konstruiere (ohne zu rechnen) auf einer Karte den Weg des Fußgängers.

---

Die nachfolgende Konstruktion zeigt die beiden möglichen Wege.

---

Ich vermute, dass der gesuchte Weg AFGB ist. Die Lösung ist zwar genial, aber mit zentrischer Streckung geht es viel einfacher. Deiner Meinung nach ist die Skizze selbsterklärend. Warum scheibst du nur einen Kommentar statt einer Antwort?

---

gesuchte Weg AFGB

Das ist die zweite mögliche Lösung.

Der erste ist ACAB.

---

Dass diese Lösung auch möglich ist, liegt daran, dass ich nicht betont habe, dass eine Teilstrecke von Weg zu Weg führen muss. So hatte ich es allerdings dargestellt. Hier ist also die Kurzform der Frage noch missverständlicher als die Kurzform der Antwort. Aber Kurzformen führen oft zu Missverständnissen.

---

Wenn meine Beiträge von irgendwelchen Zensoren schon derartig verstümmelt werden, dann bitte wenigstens so, dass sie grammatikalisch richtig bleiben !

---

Es gibt also irgendwelche Zensoren,die deine ursprünglich ausführlichen Beiträge verstümmeln. Na das ist ja ein dickes Ding. Dann nehme ich das mit dem intellektuellen Hochmut wieder zurück. Entschuldige vielmals.

---

Hallo Gast hj2166. Habe mit einem CAS einen Spezialfall deiner Lösung durchgerechnet. Sie sieht nur richtig aus, ist es aber nicht.

---

Hallo Roland,

ich weiß nicht, was Dein CAS gerechnet hat, man kann aber zeigen, dass hj2166s Lösung korrekt ist.

alle blau markierten Winkel sind gleich groß. Das Dreieck \(\triangle AGE\) ist ein gleichschenkliges und die Geraden durch \(GE\) und \(AC\) verlaufen parallel. Der Rest ist eine zentrische Abbildung von \(\triangle GEB\) auf \(\triangle AFB\). Die Details überlasse ich dem werten Leser.

Gruß Werner

---

guten Morgen Werner,

ich wollte eigentlich Gast hj 2166 provozieren, einen Beweis zu liefern. aber dazu ist der wohl grundsätzlich nicht bereit.

Gruß Roland

---

Selbstverständlich bin ich bereit, aber ich lasse mich nicht provozieren.
Wie wäre es mit einer freundlichen Bitte gewesen ?

---

Eine freundliche Bitte war in früheren Fällen vergebens. Aber gut, dass du zu einem freundlichen Umgangston übergehen willst.

Answer 1

Hallo Roland,

Danke für diese nette Aufgabe. Zentrische Streckung war auch mein erster Gedanke; ich habe aber dann noch eine andere Lösung gefunden. Sieht so aus:

in Kurzform (und Prosa): Die Senkrechte in \(B\) schneidet die untere Gerade in \(D\). Der Kreis um \(B\) durch \(A\) gibt \(C\); der Kreis um \(C\) durch \(D\) gibt \(E\). Die zur unteren Geraden Senkrechte durch \(A\) schneidet den Kreis um \(A\) durch \(B\) in \(F\). Die Parallele zur Geraden durch \(A\) und \(D\) durch \(F\) schneidet den Kreis um \(A\) durch \(E\) in \(G\). Das Lot von \(D\) auf die Gerade durch \(A\) und \(G\) ist die gesuchte Strecke (hier \(a=|DH|\)).

Gruß Werner

Comments

Einen Daumen von mir.

---

eine wahrlich interessante Aufgabe, es purzeln ständig neue Lösungen heraus:

Der Kreis um \(A\) durch \(B\) gibt \(C\). Der Kreis um \(B\) durch \(C\) gibt \(D\) und die Mittelsenkrechte auf \(DB\) schneidet \(AB\) in \(F\). \(|FB|\) ist die gesuchte Strecke.

Gute Nacht und Gruß Werner

---

es purzeln ständig neue Lösungen heraus:

Stimmt : (von WSs erster Lösung inspiriert)

Zeichne von B ein Lot auf die untere Gerade, erhalte C.
Kreis um A durch C ergibt D, Kreis um D durch A ergibt E.
Kreis um B durch A schneidet die Senkrechte zu AB durch B in F.
Senkrechte zu EF durch F schneidet die Gerade AB in G.

a = |BG|.