i radizieren, Nullstellen finden, Gleichung lösen

Question

Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe.

$$x^7+27*\sqrt{2}*x^4+729*x = 0$$

Zuerst hab ich ein x ausgeklammert

$$ x*(x^6+27*\sqrt{2}*x^3+729)= 0$$

damit hab ich schonmal $$x_{1} = 0$$

mit $$x^6+27*\sqrt{2}*x^3+729 = 0$$

kann ich jetzt $$ z = x^3$$ setzt und hab

$$z^2+27*\sqrt{2}*z+729 = 0$$

mit der quadratischen ergänzung mach ich nun weiter:

$$z^2+27*\sqrt{2}*z+729 = z^2+2*\frac{27*\sqrt{2}}{2}*z+(\frac{27*\sqrt{2}}{2})^2-(\frac{27*\sqrt{2}}{2})^2+729 = 0 $$

$$-(\frac{27*\sqrt{2}}{2})^2 = -364,5$$

$$(z+(27*\sqrt{2}))^2 +364,5 = 0 $$

$$z = \sqrt{-364,5} - (27*\sqrt{2})$$

$$\sqrt{-364,5} = i * \sqrt{364,5}$$ 

Und jetzt hab die das Problem das ich die 3. Wurzel ziehen muss:

$$\sqrt[3]{i * \sqrt{364,5} - (27*\sqrt{2})}$$

Ich weiß zwar das $$\sqrt{i} = ± \frac{\sqrt{2}}{2}*(1+i)$$

Allerdings komm ich damit hier nicht sehr viel weiter.

würde mich über Jegliche Hilfe freuen :)

MfG Pascal

Answer 1

Du hast ja

$$z = ±\sqrt{-364,5} - (27*\sqrt{2})$$$$\sqrt{-364,5} = i * \sqrt{364,5}$$

Und jetzt die 3. Wurzel ziehen :

$$\sqrt[3]{i * \sqrt{364,5} - (27*\sqrt{2})}$$

$$=\sqrt[3]{i * \frac{27}{2}*\sqrt{2} - (27*\sqrt{2})}$$

$$=\sqrt[3]{ (27*\sqrt{2})*( \frac{i}{2} - 1))}$$

$$=3*2^\frac{1}{6}*{}\sqrt[3]{  \frac{i}{2} - 1)}$$

Vielleicht hilft das schon.

Bedenke auch das ± am Anfang.

Answer 2

  Entschuldige wenn ich deine Nummerik nicht mehr im Einzelnen nachvollziehe.

  Wie zieht man ganz allgemein die Kubikwurzel aus einer komplexen Zahl?

   1) Du ermittelst ihren Absolutbetrag so wie den Phasenwinkel.

   2) Aus dem Betrag ziehst du die dritte Wurzel.

   3) Der Winkel wird dreigeteilt ( logaritmische Rechenregel. )

   4) Dabei entstehen drei Lösungen; siehe ===>  primitive Einheitswurzeln

    Das ist ja auch der Grund, warum ich diesem Teufelspakt mit der  ===>  Cardanoformel so skeptisch gegenüber stehe ===>  Casus irreducibilis  .  Es ist nämlich nicht so, dass Cardano das Lösen kubistischer Gleichungen auf reelle Wurzeln zurück führt.  Er setzt praktisch das Problem als gelöst voraus, wenn du sämtliche 3. Wurzeln aus KOMPLEXEN Zahlen kennst -  ein Ansatz, den moderne Menschen nicht mehr als algebraisch, sondern weit eher als transzendent einstufen würden.