Invertierbare Funktionen

Question

Wie finde ich heraus, ob Funktionen auf dem gegebenden Definitioinsbereich invertierbar sind oder nicht?

Wie zeige ich das an diesen Beispielen:

1. f(x) = x^-4 -> Defintionsbereich = R

2. f(x) = -2/3x + 7/13 -> Defintionsbereich = R

3. f(x) = sin(x) -> Definitionsbereich = (0, Pi)

4. f(x) = Wurzel(x^2), -> Definitionsbereich = R

5. f(x) = x^5 -> Definitionsbereich = R

Wie begründe ich nun warum oder warum die Funkt. auf dem geg. Definitionsbereich nicht invertierbar sind? Und falls invertierbar, wie wäre dann der Defintionsbereich der Umkehrfunktion?

Answer 1

  Im Falle differenzierbarer Funktionen hilft dir das ===>  implizite Funktionenteorem weiter.  Es gibt dir eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung.

     Du brauchst einen " Kern "  , einen Ausgangspunkt [ x0 , f  ( x0 )  ]   Wenn nun in einem ( offenen ) Intervall um x0 die Ableitung f ' ( x )  nicht verschwindet, dann gibt es eine offene Umgebung um y0 = f ( x0 ) , auf der die differenzierbare Umkehrfunktion x = ß ( y )  erklärt ist.   Die praktische Frage ist dann immer, wie groß jenes Intervall im Einzelfall ist.

Answer 2

eine Umkehrabbildung kann nur dann existieren, wenn die Funktion bijektiv ist. Dafür sind Definitions -und Bildbereich entscheidend. Wenn deine Abbildung nun umkehrbar sein sollte, dann muss und darf jedes Element in der Bildmenge (auch Wertemenge bezeichnet) nur genau einmal von einem Element aus der Definitionsmenge getroffen werden. Somit kann bei dir 1.) nicht bijektiv sein, da dort zum einen der Definitionsbereich ganz R ist und bei dieser Funktion die positven Werte auch mehr als einmal getroffen werden können. Du müsstest es also so fromulieren, dass du eine bijektive Abblidung erhältst.

$$f:\quad \mathbb{R_0^+} \longrightarrow \mathbb{R_0^+}, x\longmapsto x^{-4}=:f(x)$$