a so berechnen, dass die Gleichung eine Lösung in x hat: √(x+a) = √(ax)

Question

Die Unbekannte a ist so berechnen, dass die Gleichung eine Lösung in x hat: √(x+a) = √(ax)

Ich habe zuerst einmal quadriert, aber dann gibt es irgendwie eine ganz lange Rechnung, die ich nicjt richtig nach x auflösen kann.

Comments

Schreibe deine Frage jeweils bitte nochmals in das untere Feld. Vielleicht nicht ganz an den Anfang. In der Überschrift wurde dein a jetzt zwei mal in ein A umgewandelt. Habe das bei diesen beiden Fragen korrigiert.

Answer 1

hier gibt es nicht viel zu rechnen.

$$ \begin{aligned} \sqrt{x+a}&=\sqrt{ax} \qquad|\uparrow^2\\x+a&=ax \quad\qquad|-x\\a&=ax-x\\\Leftrightarrow a&=x(a-1)\quad|:(a-1)\\x&=\frac{a}{a-1},\quad a\neq 1 \end{aligned} $$

Comments

Da das Quadrieren i.A. keine Äquivalenzumformung ist, fehlt in der Rechnung noch etwas.

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Meinst du PlusMinus vor der Wurzel???

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Na, für a=1/2 ergibt sich x=-1, wobei die Gleichung zwar formal erfüllt wird, aber gar nicht definiert ist.

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Stimmt. Danke. Aber wie würdest du diese Gleichung dann lösen?

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=√(ax)+%3D+√(a+%2B+x)

WA schreibt einfach mal hin, was bei Zwischenresultaten angenommen wird.

Der Fragesteller kann ja Fallunterscheidungen ergänzen, falls eine allgemeinere Lösung gewünscht ist.

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Auf die Lösung bin ich auch gekommen, nur habe ich nicht gesehen, dass für a=1/2 x=-1 wäre. Erst als mich Gast az0815 darauf hingewiesen hast, habe ich es auch bemerkt.

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Ich habe gerade meinen Kommentar bearbeitet. mathelounge erlaubt mir nicht mehr im ersten Anlauf ein Bild einzubinden. Das geht interessanterweise nur noch im Bearbeitungsmodus :) 

Der erste Hinweis stammte nicht von mir.

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Das habe ich erst bemerkt, als ich mein Kommentar abgeschickt hatte. Sorry.

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Was ist denn "eine Lösung in x" genau?

Dasselbe wie " eine Lösung x"  hat?

Vorgehen wie hier: https://www.mathelounge.de/552742/berechnen-dass-gleichung-mindestens-eine-losung-haben-muss

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Ich werde nur selbst nicht schlau, wie man denn bitteschön sehen soll, dass die Gleichung für a=0,5 x=-1 liefert?

Das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, ist mir wohlwollend bewusst! Nur wie soll man das nächste a, also 0,5 herbekommen?

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Jede Lösung der Gleichung muss im Definitionsbereich der Gleichung liegen.

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@h. 

gilt auch für Wurzelfunktionen

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Das ist mir auch bewusst. Hast du die Lösung nochmal in die Ausgangsfunktion eingesetzt und dann festgestellt, dass für a=0,5 x=-1 ergibt oder wie hast du das herausgefunden?

Ja ich habe die Funktionen auch plotten lassen. Nur so habe ich es erst gesehen.

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Also. Ich habe habe mal die Lösung $$ x=\frac{a}{a-1} $$in die Ausgangsterme eingesetzt und diese dann interpretiert. $$ \sqrt{x+a}= \sqrt{\frac{a}{a-1}+a}= \sqrt{\frac{a-a^2-a}{a-1}}\\=\sqrt{\frac{a^2}{a-1}}=\frac{a}{\sqrt{a-1}},a>1 $$ Und $$ \sqrt{ax}=\sqrt{a\cdot\frac{a}{a-1}}=\sqrt{\frac{a^2}{a-1}}\\=\sqrt{\frac{a^2}{a-1}}=\frac{a}{\sqrt{a-1}},a>1 $$

Dann sollten jetzt all die Werte für a ersichtlich sein, die man nicht einsetzen darf.

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Meine Überlegungen waren in etwa so: In der Gleichung
$$\sqrt{x+a}=\sqrt{ax}$$über der Menge der reellen Zahlen ist die Gleichung für \(x=a=0\) offenbar definiert und die Lösung in \(x\) ist natürlich \(x=0\).

Abgesehen davon ist die rechte Seite nur definiert, wenn \(a\) und \(x\) vorzeichengleich sind. Damit auch die linke Seite definiert ist, muss das gemeinsame Vorzeichen ein \(+\) sein. Daher muss dann \(a\gt 0\) und \(x\gt 0\) gelten, damit die gesamte Gleichung definiert ist.

Weiter gibt es offenbar für \(a=1\) kein \(x\), das die Gleichung erfüllt, sodass sich nach Radikandenvergleich zusammen mit dem vorher gesagten
$$x=\frac{a}{a-1} \quad\text{und}\quad a\gt 1\quad\text{oder}\quad x=a=0$$ergibt.

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Ich konnte es lösen. Vielen Dank für all eure Hilfe.