Inverse einer Matrix berechnen

Question

ich habe kurze Frage bezüglich Matrizen,

ich habe eine Aufgabe bei der ich die Treppennormalform von Matrizen berechnen soll so wie die Inversen. Jetzt bin ich mir nicht sicher ob ich die Inversen berechnen soll nachdem ich die Treppennormalform ausgerechnet habe oder schon davor.

Was für eine Formel muss ich benützen, um zum Beispiel die Inverse so einer Matrix zu bestimmen:

$$\begin{bmatrix} 1 & i & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & -6i & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ 

Dann soll ich mittels der Probe A^-1 · A das Ergebnis überprüfen. Soll bei dieser Probe die ursprüngliche Matrix rauskommen?

Über Antworten und Hinweise würde ich mich sehr freuen. MfG EC

Answer 1

Hi,

das kannst du über die Adjunkte und die Determinante machen :)

Oder du nutzt den Gauß Jordan Algorithmus und formst um:

Umformen in diese Form:

Also auf der linken Seite dann diese Einheitsmatrix mit 1111 in der Diagonalen und die rechte Seite also die Umgeformte ist dann deine Inverse!

Wichtig ist, dass du darauf achtest, dass du mit Imaginären Zahlen arbeitest also den Fall i*i bedenken!!!

Edit:

A*A^-1= E

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$

Comments

Und was muss ich bei dieser Kontrolle A^-1 A rausbekommen?

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Da kommt deine Einheitsmatrix Matrix raus :)

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$

Das ist eine ganz nette Überprüfung, ob man dann richtig gerechnet hat!

Deine Inverse A Matrix ist:

  6 0 -1 -6i
  0 0 0   1
-5i 0 i -5
  0 1 0   0

Deine A Matrix ist:

1 i -i 0
0 0 0 1
5 0 -6i 0
0 1 0 0

Das beides Multiplizieren

A*A^-1 = E

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!! Jetzt habe ich es endlich verstanden.

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Klar, kein Problem!