Gaußscher Satz in der Ebene/Integralsatz

Question

Sei

A := {(x,y) ∈R² : 3(x−1)² + 2y² ≤ 1}.

Berechnen Sie mittels dem Gaußschen Satz in der Ebene den Flächeninhalt von A

Irgendjemand einen Plan? Hab leider gar keine Idee wie ich den Integralsatz anwenden soll.

Answer 1

$$\int_A(P_x+Q_y)\,d(x,y)=\oint_{\partial A}(P\,dy-Q\,dx)$$ Waehle \(P\) und \(Q\) so, dass \(P_x+Q_y=1\) wird.

Comments

Gibt es die Möglichkeit, dass du mir das an einem elementaren Beispiel vorrechnest?

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Kannst Du Funktionen \(P\) und \(Q\) angeben, für die \(P_x+Q_y=1\) ist?

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P=1 & Q = y

...

P=0.5x & Q = 0.5y

...

P=x & Q = 1

oder etwas komplizierter: P= 2x + (2/3)x^3 & Q = -1y -2x^{2}y

Meinst Du so?

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Damit hast Du bereits vier Formeln, um |A| als Integral ueber den Rand von A zu bestimmen. Such Dir eine davon aus. Ich wuerde eine von den einfachen nehmen.

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Ich bin mir sicher, dass es sehr trivial ist, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch.

((Stattdessen habe ich das Problem in Polarkoordinaten(x=(2/3)^{1/2}rcos(theta)+1;y=rsin(theta)) transformiert, die Funktionsdeterminate bestimmt und bin so auf sqrt(2/3)*pi/2 gekommen.))

Muss mir das mit dem Rand nochmal morgen früh in Ruhe angucken, danke aber schonmal!

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Im Internet finde ich überall verschiedene Schreibweisen, wie drückt |A| als Integral über den Rand von A konkret aus? Wie erhalte ich die Integrationsgrenzen? Durch Transformation?

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Brauchst Du jetzt schon Internet, um das \(P\) und das \(Q\) aus dem angeschriebenen Integralsatz von Gauss durch konkret gewaehlte Funktionen zu ersetzen? Du hast vier Vorschlaege fur Funktionen mit \(P_x+Q_y=1\) gemacht. Jeder Vorschlag ergibt eine Formel für den gesuchten Flaecheninhalt \(|A|\) von \(A\): $$|A|=\oint_{\partial A}(P\,dy-Q\,dx).$$ Dein zweiter z.B. $$|A|=\frac{1}{2}\oint_{\partial A}(xdy-ydx)$$ und Dein vierter $$|A|=\oint_{\partial A}\left[(y+2x^2y)\,dx+(2x+\frac{2}{3}x^3)\,dy\right].$$ Mehr faellt mir dazu nicht mehr ein. Wie man Kurvenintegrale ausrechnet, musst Du selber wissen.