f(x)=(x²-4)*e^{1/2x} Nullstellen, Extrempunkte und Asymptote bestimmen

Question

1.  f(x)=(x²-4)*e^{1/2x}
a) Bestimmen Sie die Nullstellen;

b) Bestimmen Sie die Extrempunkte;

c) Bestimmen Sie die Asymptote ...

ich hab angefangen aber komme irgendwie nicht weiter, bei den Ableitungen. bei mir kam bei

f'(x)=e^{1/2x}*(1/2x²-2+2x) und bei der f''(x)= e^{1/2x}(2x+1+1/4x²) ... Ist das richtig? Könnt ihr mit bitte helfen.

Und bei der komme ich gar nicht weiter, weiß nicht wie ich anfangen soll:

 2.   f(x)= x²*e^{1/2x}   Für die gelten die selben a,b,c Fragen...

Eine Erklärung zu der Rechnung wäre super, vor allem bei der zweiten Aufgabe :) Danke schön

Comments

Es gibt hier in der Fragestellung wohl einen Caret-Konflikt.

Was genau ist hier im Exponenten?

 f(x)=(x²-4)*e¹/2x

Steht das für

 f(x)=(x²-4)*e^0.5x     ?

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Ja genau :) sorry... als ich das eingetippt hatte, sah es nach 1/2 aus

Answer 1

a) Nullstelle bedeutet immer f(x) Null setzen:

0 = (x² - 4)*e^0,5*x Der Ausdruck ist dann Null, wenn (x² - 4) = 0 oder e^0,5*x= 0 ist.

x² - 4 = 0 => x²= 4 => x_NS1/2 = ±2  ( e^0,5*x= 0 => 0,5*x = ln(0), ln(0) ist nicht defniert, daher ergibt sich keine weitere Nullstelle)

b) Ableitungen bilden

Erste Ableitung f'(x) hier Produktregel = uv' + vu'

u = x² - 4 => u' = 2x

v = e^0,5x => v' = 0,5*e^0,5x

f'(x) = (x² -4)*0,5*e^0,5x + e^0,5*x*2x = e^0,5*x (0,5*x² - 2 +2x), 1. Ableitung Null setzen (notwendiges Kriterium für Extrema), ergibt als Lösungen x_E1/2 = -2 ± 2*Wurzel(2)

Die Herleitung der 2. Ableitung erspare ich mir und schreibe gleich das Ergebnis hin: f''(x) = (x² + 8x + 4)*0,25*e^0,5*x

Prüfen des hinreichenden Kriterium für Extrema (f''(x_E) ≠ 0)):

Für x_E1 = 0,828 ist f''(x_E1) > 0, also liegt hier als Extremum ein Minimum vor: P_Min (0,828|-5,014)

Für x_E2 = -4,828 ist f''(x_E2) < 0, also liegt hier als Extremum ein Maximum vor: P_Max (-4,828|1,727)

Wendepunkte untersuchen:

Notwendiges Kriterium f''(x) = 0 => x_w1/2 = -4 ± 2*Wurzel(3)

Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte f'''(x_w1/2) ≠ 0; 3. Ableitung bilden, auch hier erspare ich mir die Herleitung und gebe gleich das Endergebnis an:

f'''(x) = (x² + 12x + 20)*0,125*e^0,5*x

Für x_w1 = -0,536 ist f'''(x_w1) < 0, also liegt ein Wendepunkt vor: P_W1= (-0,536|-2,84)

Für x_w2 = -7,464 ist f'''(x_w2) > 0, also liegt ein Wendepunkt vor: P_W2= (-7,464|)1,238)

Sattelpunkte gibt es keine, da als notwendiges Kriterium f'(x_E) = 0 und f''(x_E) = 0 nicht erfüllt ist.

c) Verhalten im Unendlichen

Grenzwert der Funktion für x gegen + ∞ ergibt + ∞.

Grenzwert der Funktion für x gegen - ∞ ergibt 0. (Hinweis: e^-oo= 1/e^oo und das geht gegen Null.)

Bei y = 0 gibt es deshalt eine waagerechte Asyomptote.

Answer 2

Quadratische Gleichungen löse ich hier mal ohne weiteren Hinweis mit der abc-Formel.

f(x) = e^{1/2·x}·(x^2 - 4)
f'(x) = e^{1/2·x}·(1/2·x^2 + 2·x - 2)
f''(x) = e^{1/2·x}·(1/4·x^2 + 2·x + 1)

Nullstellen f(x) = 0
x^2 - 4 = 0
x = ± 2

Extremstellen f'(x) = 0
1/2·x^2 + 2·x - 2 = 0
x = - 2 ± 2·√2

Wendestellen f''(x) = 0
1/4·x^2 + 2·x + 1 = 0
x = - 4 ± 2·√3

Nun noch kurz zur 2. Aufgabe

f(x) = e^{1/2·x}·(x^2)
f'(x) = e^{1/2·x}·(1/2·x^2 + 2·x)
f''(x) = e^{1/2·x}·(1/4·x^2 + 2·x + 2)

Nullstellen f(x) = 0
x^2 = 0
x = 0

Extremstellen f'(x) = 0
1/2·x^2 + 2·x = 0
x = -4 ∨ x = 0

Wendestellen f''(x) = 0
1/4·x^2 + 2·x + 2 = 0
x = - 4 ± 2·√2

Asymptote ist in beiden Fällen die x-Achse für x→-∞

Skizze: