Warum ist der Ortsoperator in der Ortsdarstellung durch die Ortskoordinate repräsentiert?

Question

Ich soll die Frage aus der Titel über die Wahrscheinlichkeitsdichte erläutern. Ich weiß, dass es etwas mit Multiplikation mit Ortskoordinaten zu tun hat, aber ich komme nicht darauf wie?

Comments

Kannst du etwas konkreter fragen? In welchem Kurs arbeitet ihr mit Wahrscheinlichkeitsdichten?

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Ich bin an der Uni, gerade in der Physikalischen Chemie 1 (Aufbau der Materie) habe ich dies als Wiederholungsfrage bekommen. Die Frage lautet (kopiert) : "Erläutern Sie über die Wahrscheinlichkeitsdichte, warum der Ortsoperator in der Ortsdarstellung durch die Ortskoordinate repräsentiert wird!"

Ich habe zwar da Hinweise, die wir während der Vorlesung bekommen haben, jedoch i.d.R. reicht mir die Vorlesung lange nicht aus, um den Stoff zu verstehen.

Wir haben das aus Vorlesung. Ich glaube, das hier die Antwort steckt, ich verstehe die aber nicht.

Answer 1

Ich weiss leider nicht genau, wo du nicht nachkommst. Wohl eher beim mathematische als beim physikalischen Teil der Frage.

Die Rechnung im Bild setzt z.B. voraus, dass du weisst, was

Integral (sin^2(x)) dx von 0 bis pi gibt.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(2%2Fpi)+sin%5E2(x)+from+0+to+pi

Nun ist die Fläche unter der Kurve 1. Darum kann der Integrand eine Wahrscheinlichkeitsdichte sein. (1 entspricht 100%)

Der Mittelwert ist bei in meinem Beispiel bei π/2.

Nun muss L aber nicht unbedingt ausgerechnet π sein. Daher die Faktoren im Argument des Sinus^2, so dass die ersten Nullstelle bei L liegt . Damit die Fläche immer unter der Kurve noch 1 ist, kommt 2/L vor sin^2 .

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Was ein Erwartungswert (Mittelwert) ist, weisst du?

Den berechnet man wie den Gleichgewichtspunkt bei einer Schaukel.

Gewichtskraft * Hebelarm muss bei einer Schaukel gleich sein, damit unterschiedlich schwere Personen gut schaukeln können.

x * f(x) dx

entspricht

x_(i) * p_(i) , wenn die Last auf einige Punkte im Abstand x_(i) vom Koordinatenursprung verteilt ist.

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Jetzt habe ich es verstanden :)