Wie berechnet sich die Zufallsgröße?

Question

70% haben einen Führerschein.
10 Personen werden ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen 10 genau 7 mit Führerschein sind?

Meine Lösung: (10 über 7)  *  0,7^7  *  0,3^3

Stimmt das?

In einer 2. Aufgabe kommen 21 von 30 Kindern mit dem Bus zur Schule.
Das wäre gekürzt auch 0,7.

Es werden 10 von 30 ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter den 10 genau 7, die mit dem Bus zur Schule kommen?

Ich hätte nun denselben Ansatz wie oben gewählt.
Es soll aber falsch sein.
Warum?

Answer 1

Meine Lösung: (10 über 7)  *  0,7⁷  *  0,3³

Würde ich so gelten lassen.

Es werden 10 von 30 ausgewählt.

Die Grundgesamtheit ist recht klein (30) und die Stichprobe dazu im Verhältnis recht groß (10).

Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Kind mit dem Bus zur Schule kommt, beträgt 21/30 = 0,7.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind mit dem Bus zur Schule kommt, beträgt entweder 21/29, oder 20/29, je nach dem, ob das erste Kind mit dem Bus zur Schule gekommen ist, oder nicht.

Das ergibt als Gesamtwahrscheinlichkeit für das zweite Kind zwar auch 21/30·20/29 + 9/30·21/29 = 0,7, aber die Ereignisse "Erstes Kind kommt mit dem Bus zur Schule" und "Zweites Kind kommt mit dem Bus zur Schule" sind nicht mehr stochastisch unabhängig. Also darfst du die Binomialverteilung nicht anwenden.

Mit einem Urnenmodell betrachtet hast du hier "Ziehen ohne Zurücklegen", während die Binomialverteilung eher für "Ziehen mit Zurücklegen" vorgesehen ist.

Streng genommen hast du auch im ersten Fall "Ziehen ohne zurücklegen". Allerdings gibt es eine große Diskrepanz zwischen Grundgesamtheit (alle Menschen) und Stichprobengröße (10). In solchen Fällen ist die Binomialverteilung eine gute Näherung.

Comments

Hört sich plausibel an.

Answer 2

In einer 2. Aufgabe kommen 21 von 30 Kindern mit dem Bus zur Schule. Es werden 10 von 30 ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter den 10 genau 7, die mit dem Bus zur Schule kommen?

Das ist ein Ziehen ohne Zurücklegen und damit ändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Man hat statt einer Binomialverteilung dann eine hypergeometrische Verteilung.

P(X = 7) = COMB(21, 7)·COMB(9, 3)/COMB(30, 10) = 0.3251

https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung

Comments

Spannend.
Ich glaube, ich wüsste, wenn die mir schon mal über den Weg gelaufen wäre. Also bleibt mir nur die negative Erklärung, dass es mit dem Binomialkoeffizienten wegen mangelnder Eindeutigkeit nicht geht.

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Ich glaube, ich wüsste, wenn die mir schon mal über den Weg gelaufen wäre.

Nicht unbedingt. Weil Lehrer die Schüler nicht mit den Bezeichnungen verwirren wollen. Manche nennen das auch Lotto-Verteilung weil man damit ausrechnet kann wie groß die Wahrscheinlichkeit auf 3 Richtige beim Lotto ist.

Und das ht nichts mit Mangelnder Eindeutigkeit zu tun sondern schlicht und einfach ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird. Steht nichts dabei ist es eigentlich immer ohne zurücklegen.

Also wenn man aus einem Kartenspiel 3 Karten zieht, dann kannst du davon ausgehen das es ohne zurücklegen ist.