das Vorgehen ist identisch mit dem über \(\mathbb{R}\). Nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Stelle die Ausgangsgleichungen tabellarisch zusammen:
$$\begin{array}{cccc|c} 4 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 4 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 2 & a \end{array}$$ Erstes Ziel ist, das Element links oben zu \(1\) zu machen. Dazu multipliziere ich die erste Zeile mit \(4\), da
$$4 \cdot 4 = 16 \equiv 1 \mod 5$$ Man erhält in der ersten Zeile
$$\begin{array}{cccc|c} 1 & 4 & 2 & 4 & 3 \end{array}$$ mit Hilfe der \(1\) in der ersten Spalte mache ich nun die Elemente der ersten Spalte in den anderen Zeilen zu \(0\). Dazu nehme ich das Element der ersten Spalte und multipliziere die erste Zeile mit dem inversen Element der Addition in \(\mathbb{Z}5\). Also für die zweite Spalte wäre das die \(3\) als Multiplikator, da
$$2 + 3 \cdot 1 = 5 \equiv 0 \mod 0$$ und addiere das \(3\)-fache der ersten Zeile zur zweiten hinzu. Entsprechend gehe ich bei den anderen zwei Zeilen vor. Gibt:
$$\begin{array}{cccc|c} 1 & 4 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 2 & 1 & a+3 \end{array}$$ Nun die zweite Zeile mit \(4\) multiplizieren (damit man in der zweiten Spalte wieder auf \(1\) kommt) und diese Zeile jeweils zu allen anderen Zeilen addieren:
$$\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & a+3 \end{array} $$
Jetzt die dritte Zeile mal \(4\) und das \(3\)-fache des Ergebnis zur ersten und vierten addieren:
$$\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a+1 \end{array}$$ die letzte Zeile ist nur genau dann erfüllt, wenn \(a=4\), da
$$4 + 1 = 5 \equiv 0 \mod 5$$ womit der Teil a) erledigt ist.
Für die Lösungsmenge setzte ich \(x_4=t\) und addiere in dem entstandenen Gleichungssystem, die erste und dritte Gleichung auf jeder Seite mit \(2t\), so dass die vierte Spalte zu \(0\) wird. Somit ist die Lösungsmenge
$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Da wir uns im \(\mathbb{Z}5\) befinden, könnte man die fünf Lösungsvektoren auch so hinschreiben. Mache das mal und mache mit einem oder zwei von ihnen die Probe. Falls noch Fragen offen sind, bitte melden.
Gruß Werner
