Sei A invertierbar. Zeige das B mit ||B-A|| < α := 1/ ||A -1|| invertierbar ist.

Question

Sei A ∈ R ^nxn  invertierbar. Beweisen Sie, dass jede Matrix B ∈ R ^nxn  mit

||B-A|| < α := 1/ ||A ^-1|| invertierbar ist.

||.|| bezeichnet irgendeine Matrixnorm.

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Vom Duplikat:

Titel: Zeige: Wenn A invertierbar, dann ist auch 1/A^-1 invertierbar

Stichworte: matrix,invertierbar,norm

Sei A ∈ R ^nxn  invertierbar. Beweisen Sie, dass jede Matrix B ∈ R ^{nxn  mit}

||B-A|| < α := 1/ ||A ^-1|| invertierbar ist.

||.|| bezeichnet irgendeine Matrixnorm.

Answer 1

Schreibe \( B \) in der Form \( B = A ( I - ( I - A^{-1} B ) ) \).

Für \(  I - A^{-1} B \) gilt

$$ \|   I - A^{-1} B \|  = \|   A^{-1} (A - B) \| \le \| A^{-1} \| \cdot \| A - B \|   < 1 $$ wegen der Voraussetzung.

Damit ist \( I - (  I - A^{-1} B ) = A^{-1} B \) invertierbar (s. Neumannsche Reihe) und damit auch \( B \)